专题03 平面向量中的常用方法（解析版）-【重难点突破】2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019必修第二册）

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专题 03 平面向量中的常用方法
【例】 湖南长郡中学 2021 届高三月考——一题多解
1．在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，AC 与BD 相交于点 O，过点 A作AE⊥BD，则 =（
）
O
E
D
C
A
B
【答案】D
【解析】
法一：利用投影解决向量积
法二：基底+分点定比恒等式
易知 E是BO 上的 5等分点，
法三：建系（简证）
如图，以 B为原点，构造直角坐标系，
求出 E点坐标 ，从而得到 与 的坐标，
计算得出向量的数量积即可.
法四：极化恒等式（后面专题会补充）
题型一 基底法
x
y
1．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结
构示意图，已知图中的圆 （前轮），圆 （后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长
为4的等边三角形．设点 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， 的最大值为 　　
A．18 B．24 C．36 D．48
【解答】解：
据题意：圆 （后轮）的半径均为 ， ， ， 均是边长为 4的等边三角形．点 为后
轮上的一点，故 ，
，故
【法二】：如图建立平面直角坐标系：
则 ， ， ．可设 ，
所以 ， ．
故
．
故选： ．
A D 3
ABE
BECECD
P
( )
D3
ABE
BECECD
P
( 8,0)A
( 6, 2 3)B( 2,2 3)C( 3 cos , 3 sin )P
 
(6,2 3)AC

( 3 cos 6, 3 sin 2 3)BP
 
 
1 3
6sin 6 3 cos 24 12( sin cos ) 24
2 2
AC BP
 
 
              
12sin( ) 24 12 24 36
3
 �
C
2．已知圆 半径为 2，弦 ，点 为圆 上任意一点，则 的最大值是 　 6 　
A
O
B
C
【解答】解：如图，取 中点 ，连接 ， ， ，则：
；
；
当 ，即 同向时取“ ”；
的最大值为 6．
故答案为：6．
【法二】：投影法
设C在AB 上的投影为 G，则 ，过点 O作AB 平行线交圆 于 H，当 C点在 H时，
有最大值， .
2AB
C O
AB
D
OD
OA
OC
1
cos 2
OAD 
( )AB AC AB OC OA  
                           
AB OC AB OA   
                                          
| || | cos , | || | cosAB OC AB OC AB OA OAD  
 
4cos , 2AB OC  
 
6�
cos , 1AB OC 
 
,AB OC
 
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