专题2.15 超越方程反解难，巧妙构造变简单-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（原卷版）

3.0 envi 2025-05-06 8 4 216.36KB 4 页 3知币

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【题型综述】

导数研究超越方程

超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的

函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的

超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．

在探求诸如

x3−6x2+9x−10=0

，

x2−2 ln x=x−2

√

x+2

方程的根的问题时，我们利用

导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．

此类题的一般解题步骤是：

1、构造函数，并求其定义域．

2、求导数，得单调区间和极值点．[来源:学*科*网]

3、画出函数草图．

4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与

轴的交点情况求解．

【典例指引】

例1．已知函数在处取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点

且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．

[来源:学科网]

例2．设函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒

成立，求实数的取值范围．

（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

例3．已知函数（）

（1）讨论的单调性；

（2）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围．

【新题展示】

1．【2019 山西祁县中学上学期期末】已知函数 ,．若

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．

2．【2019 浙江台州上学期期末】设函数， R．

（Ⅰ）求函数在处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最大值；

（Ⅲ）设，若对任意的实数，关于的方程有且只有两个不同的实根，求实数的取值范

围．

3．【2019 浙江杭州高级中学上学期期中】已知函数 .

（1）若关于的方程在内有两个不同的实数根，求实数的取值范围.

（2）求证：当时， .

【同步训练】

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