专题2.15 超越方程反解难，巧妙构造变简单-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品（2019版）（解析版）

3.0 envi 2025-05-06 9 4 1.72MB 24 页 3知币

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【题型综述】

导数研究超越方程

超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的

函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的

超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．

在探求诸如

x3−6x2+9x−10=0

，

x2−2 ln x=x−2

√

x+2

方程的根的问题时，我们利用

导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．

此类题的一般解题步骤是：

1、构造函数，并求其定义域．

2、求导数，得单调区间和极值点．

3、画出函数草图．

4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与

轴的交点情况求解．

【典例指引】

例1．已知函数在处取得极小值．

（1）求实数的值；

（2）设，其导函数为，若的图象交轴于两点

且，设线段的中点为，试问是否为的根？说明理由．

【思路引导】

（1）先求导数，再根据，解得，最后列表验证（2）即研究是否成立，

因为，利用，得

，所以 =0，转化为．

其中，最后利用导数研究函数单调性，确定方程解的情况

（2）由（1）知函数．

∵函数图象与轴交于两个不同的点，（），

∴ ，．

两式相减得

．学*科网

．

下解．即．

令，∵ ，∴ ，即．

令，．

又，∴ ，

∴ 在上是増函数，则，

从而知，故，即不成立．

故不是的根．学*科网

例2．设函数

（1）当时，求函数的单调区间；[来源:Zxxk.Com]

（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒

成立，求实数的取值范围．

（3）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．

【思路引导】

（1）先求导数然后在函数的定义域内解不等式和的区间为单调增区

间，的区间为单调减区间；（2）先构造函数再由以其图象上任意一点为切点

的切线的斜率恒成立，知导函数恒成立，再转化为求解；（3）先把握

有唯一实数解，转化为有唯一实数解，再利用单调函数求解．

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