贵州省贵阳市2020届高三上学期期末监测考试数学（理）答案
高三数学（理科） 第 1 页（共 6页）
贵阳市普通高中 2020 届高三年级第一学期期末监测考试
高三数学（理科）参考答案与评分建议
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
D
B
A
B
A
B
D
C
D
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分。
13．
7
25
−
14．
280−
15．
1
[ 1, ]
2
−
16．
6
三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分。解答应写出文字说明，
证明过程或演算步骤。
17.（本题满分12分）
解:（1）当
1n=
时，
1 1 1
2 3 3, 3a a a= − =
当
2n≥
时,
2 3 3
nn
Sa=−
…………(1)
11
2 3 3
nn
Sa
−−
=−
…………(2)
（2）-（1）得：
1
2 3 3
n n n
a a a −
=−
∴
1
3
n
n
a
a−
=
∴数列
{}
n
a
是
13, 3aq==
的等比数列
3n
n
a=
…………………………6 分
（2）
33
log log 3n
nn
b a n= = = ，
则
1
2 2 1 1
= 2( )
( 1) 1
n
nn
cb b n n n n
+
= = −
++
1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2( )
1 2 2 3 3 4 1
n n n
T c c c c c nn
−
= + + + + = − + − + − + − +
1 1 2
2( ) 2 2
1 1 1
n
Tnn
= − = −
++
…………………………12 分
高三数学（理科） 第 2 页（共 6页）
18.（本题满分 12 分）
解：（1）的取值情况有 ，
, .基本事件总数为 10. 设“
25 30
25 30
m
n
≤ ≤
≤ ≤
”为事件 ，则事件
包含的基本事件为
所以 ，故事件“
25 30
25 30
m
n
≤ ≤
≤ ≤
”的概率为 ………………………4 分
（2）将甲、乙所作拟合直线分别计算 的值得到下表：
10
11
13
12
9
23
25
30
26
16
22
24.2
28.6
26.4
19.8
22
24.5
29.5
27
19.5
用 作为拟合直线时，所得到的 值与 的实际值的差的平方和为
2 2 2 2 2
1(22 23) (24.2 25) (28.6 30) (26.4 26) (19.8 16) 18.2S= − + − + − + − + − =
用 作为拟合直线时，所得到的 值与 的实际值的差的平方和为
2 2 2 2 2
2(22 23) (24.5 25) (29.5 30) (27 26) (19.5 16) 14.75S= − + − + − + − + − =
由于 ，故用直线 的拟合效果好…………………………8 分
（3）由列表得:
11x=
，
24y=
；
52
1
615
i
i
x
=
=
；
5
1
1351
ii
i
xy
=
=
，
设回归方程为
abxy+=
ˆ
,
则
12
2
2
1
1351 5 11 24
3.1
615 5 11
n
ii
in
i
i
x y nxy
b
x nx
=
=
−−
= = =
−
−
，
24 3.1 11 10.1a y bx= − = − = −
，
故所求方程为
ˆ3.1 10.1yx=−
…………………………12 分
,mn
(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16)
(30,26)
(30,16),(26,16)
A
A
(25,30),(25,26),(30,26)
3
() 10
PA=
3
10
y
x
y
2.2yx=
2.5 3yx=−
2.2yx=
y
y
2.5 3yx=−
y
y
12
SS
2.5 3yx=−
高三数学（理科） 第 3 页（共 6页）
19.（本题满分12分）
解: （1）连接
AC
，交
BQ
于
N
，连接
MN
，因为底面
ABCD
是菱形，
∴
//AQ BC
，∴
ANQ BCN∽
，
1
2
AQ AN
BC NC
==
,
∴
3
AC
AN =
,
1
3
AN
AC =
，
又
1
3
PM
PC =
，
1
3
PM AN
PC AC
==
,
∴
//MN PA
，又
MN
平面
BMQ
，
PA
平面
BMQ
，∴
PA
∥平面
BMQ
．…………………………6 分
（2）连结
BD
，∵底面
ABCD
是菱形，且
60BAD =
，∴
BAD
是等边三角形，
∴
BQ AD⊥
，由
PQ ⊥
平面
ABCD
.
∴
PQ AD⊥
.
以
Q
为坐标原点，
,,QA QB QP
分别为
x
轴
y
轴
z
轴建立空间直角坐标系，
则
(0,0,0)Q
,
(1,0,0)A
,
(0, 3,0)B
,
( 1,0,0)D−
，
(0,0, 3)P
，
由
( 2,0,0) ( 1, 3,0) ( 3, 3,0)AC AD AB= + = − + − = −
，
所以点
( 2, 3,0)C−
，
设平面
PQC
的一个法向量为
( , , )x y z=n
，
∴
0
0
QP
QC
=
=
n
n
，即
0 0 3 0
2 3 0 0
x y z
x y z
+ + =
− + + =
，令
3x=
，
得
2 3, 0yz==
，
所以
(3,2 3,0),| | 21==nn
，
设平面
BMQ
的法向量为
m
( , , )x y z=
，∴
0
0
QB
MN
=
=
m
m
，注意到
MN PA
，
∴
0
0
QB
PA
=
=
m
m
，解得
( 3,0,1)=m
是平面
BMQ
的一个法向量，
设二面角
B MQ C−−
平面角的大小为
，
37
cos 14
==
mn
mn
,∴即二面角
B MQ C−−
的余弦值为
37
14
．……………12 分
N
A
B
C
D
P
x
y
z
Q
M
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