专题09 相似形-2021年初升高数学无忧衔接（苏教版2019）(解析版)
专题 09 相似形
初中对于相似形的研究，要求能够领会概念，进行计算。主要是能够发现相似形，利用相似形的等比例关
系。对于一些复杂的几何问题，能够作出辅助线，利用相似形解决。而高中更多的是利用相似形的已知定
理去解决问题，比如三角形角平分线分线段成比例、射影定理等。
《初中课程要求》 1、领会相似形的概念，会进行相似计算；
2、相似形概念性质和判定；
3、能利用定理解决实际问题，能作出辅助线。
《高中课程要求》 相似形不是高中重点要求的知识点，但是是解决问题的基本工具。
1．三角形角平分线分线段成比例定理：
AD
是
∠BAC
的平分线交
BC
边于点
D
，则有：
BD
DC
=AB
AC
证明：过点
C
作
CE /¿AD
交
BA
的延长线与点
E
∵CE /¿AD
∴∠ 2=∠3，∠1=∠E
专题综述
课程要求
课程要求
知识精讲
高中知识储备：相似形
∵AD 是∠BAC 的平分线
∴∠ 1=∠2
∴∠ 3=∠E
∴AC =AE
∵CE /¿AD
∴∆ ABD ≈ ∆ BCE
∴BA
BE
=BD
BC
∴BA
AE
=BD
DC
∴BD
DC
=AB
AC
2．射影定理：
直角三角形射影定理，又称为“欧几里得定理”，定理内容是直角三角形中，斜边上的高是
两直角边在斜边上射影的比例中项，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比
例中项。公式表达为：
如图，在
RT ∆ ABC
中，
∠ACB=90 °
，CD 是斜边 AB 上的高，
则有射影定理如下：
①CD²=AD·DB；②BC²=BD·BA；
③AC²=AD·AB；④AC·BC=AB·CD（利用等积法证明）.
例题 1．如图所示，△ABC 中，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，BD 与CE 相交于点 F．
典例剖析
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求证：DE·BF＝EF·BC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由垂直的定义可得 ，且 ，即可证 ；
（2）可证点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，可得 ， ，可证
，可得 ，即可得结论．
【详解】
证明：证明：（1） ， ，
，且 ，
；
（2）如图，连接 ，
，
点 ，点 ，点 ，点 四点共圆，
， ，
，
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作者：envi
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