江苏省南京市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学答案

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1
南京市 2025 届高三年级学情调研
数学参考答案 2024.09
一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
A
B
A
C
C
B
二、选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 6分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0分．
9
10
11
AB
BCD
ACD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
12．240 13．3π 14．3
3
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
解：（1）假设 H0：8点前到单位与方案选择无关，
则χ2＝100×(28×30－12×30)2
40×60×42×58 ······································································ 2分
＝800
203≈3.94＞3.841， ············································································ 4分
所以有 95%的把握认为 8点前到单位与路线选择有关． ······································ 6分
（2）选择 A方案上班，8点前到单位的概率为 0.7，
选择 B方案上班，8点前到单位的概率为 0.5． ················································ 8分
当X＝3时，则分两种情况：
①若周一 8点前到单位，
则P1＝0.7×C2
4(1
-
0.5)2×0.52＝21
80． ····························································· 10 分
②若周一 8点前没有到单位，
则P2＝(1
-
0.7)×C3
4(1
-
0.5)×0.53＝6
80． ·························································· 12 分
{#{QQABZYAEogCgAIBAARgCEwXKCkOQkACCAagGBEAEoAABgQNABAA=}#}
2
D
A
B
E F
M
N
O
x
y
z
综上，P(X＝3)＝P1＋P2＝27
80． ····································································· 13 分
16．(本小题满分 15 分)
解：（1）因为 E，F分别为线段 AB，BC 中点，
所以 EF∥AC． ························································································· 2分
因为AM
→
＝2MD
→
，CN
→
＝2ND
→
，即DM
DA＝DN
DC＝1
3，
所以 MN∥AC，所以 EF∥MN． ···································································· 4分
又MN平面 MNB，EF平面 MNB，
所以 EF∥平面 MNB． ················································································· 6分
（2）取 AC 中点 O，连接 DO，OE．
因为△ACD 为正三角形，所以 DO⊥AC．
因为平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ACD∩平面 ABC＝
AC，DO平面 ACD，
所以 DO⊥平面 ABC． ················································································· 8分
因为 O，E分别为 AC，AB 中点，则 OE∥BC．
又因为 AC⊥BC，所以 OE⊥AC．
以O为坐标原点，OE，OC，OD 所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，
······································································································· 10 分
则D(0，0，3 3
2)，B(3，3
2，0)，M(0，－1
2，3)，N(0，1
2，3)，
故
→
BM＝(－3，－2，3)，
→
MN＝(0，1，0)，
→
BD＝(－3，－3
2，3 3
2)．
设平面 MNB 的法向量为 n＝(x，y，z)，直线 BD 与平面 MNB 所成角为 θ，
则
n·
→
BM＝0，
n·
→
MN＝0，
即
－3x－2y＋3z＝0，
y＝0．
取n＝( 3，0，3)． ··················································································· 12 分
则sinθ＝|cos<
→
BD，n>|＝|
→
BD·n|
|
→
BD||n|＝
|－3 3＋0＋9 3
2|
9＋9
4＋27
4×3＋9
＝
3 3
2
3 2×2 3＝2
8，
所以 BD 与平面 MNB 所成角的正弦值为 2
8． ·················································· 15 分
{#{QQABZYAEogCgAIBAARgCEwXKCkOQkACCAagGBEAEoAABgQNABAA=}#}
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