北京市房山区2022-2023学年度第一学期期中高二年级数学试题参考答案

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房山区 2022—2023 学年度第一学期高中学业水平调研
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求。
题号 12345678910
答案 （B） （C） （A） （C） （A） （C） （A） （B） （D） （D）
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11） （12） （13） （14） （15）③⑤，②⑤ （16）
3
三、解答题：本大题共 5小题，每题 15 分，共 75 分。
解：
（17）（Ⅰ）证明：因为底面
ABCD
是正方形，
所以
ADBC //
.
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，
EFPADBCEF 平面平面
，
所以
BCEF //
. ..........6 分
（Ⅱ）证明:
方法 1 综合法
因为
PD
底面
ABCD
， 底面
ABCD
，
所以 .
因为底面
ABCD
是正方形，
所以 .
因为 平面
， ，
所以
AC
平面
PBD
. ..........14 分
方法 2：向量法
（Ⅰ）因为
PD
底面
ABCD
，底面
ABCD
是正方形，
所以 两两垂直.
以 为原点，建设如图所示的空间直角坐标系，因为
PD AB
=
2
，则
.
直线 的方向向量为 ， ， .
设平面
PBD
的法向量为 ，则
， ，令 ，则 ， .
所以 .
因为 ，
所以
AC
平面
PBD
. ..........14 分
(18) （Ⅰ）证明：
方法 1：
取
BE
的中点
G
,并连接
GCGF，
，则 .
又因为 ，
所以 .
又因为
EB
∥
FA
，
所以 ∥.
所以四边形 为平行四边形.
E
F
z
y
x
所以 ∥，.
因为四边形
ABCD
为正方形，
所以
BA
∥
CD
，
BA
=
CD
.
所以 ∥，.
所以四边形
CDFG
为平行四边形.
所以
CGDF //
又因为
BCEDF 平面
，
BCECG 平面
,
所以 ∥平面 . ..........7 分
方法 2：
因为四边形
ABCD
为正方形，
所以
BCAD //
.
又因为
EB
∥
FA
，且
AADAFADFADAF ，平面,
，
BBCEBBCEBCEB ，平面,
，
所以
BCEADF 平面平面 //
.
因为 平面 ，
所以 ∥平面 . ..........7 分
（II）因为 平面 ，平面 ，
所以 ．
因为四边形
ABCD
为正方形，
所以 ．
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则 ．
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