北京市东城区2022届高三下学期一模考试数学试题

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2022 北京东城高三一模

数学

2022.4

本试卷共 6页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，

将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共 40 分）

一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

（A）（B）

（C）（D）

（2）下列函数中，定义域与值域均为 R的是

（A）（B）在此处键入公式。

（C）（D）

（3）已知复数满足，则的虚部为

（A）2（B）－2（C）1（D）－1

（4）已知数列的前项和，则是

（A）公差为 2的等差数列（B）公差为 3的等差数列

（C）公比为 2的等比数列（D）公比为 3的等比数列

（5）已知，则

（A）（B）（C）（D）

（6）已知正方体的棱长为 1，为上一点，则三棱锥的体积为

（A）（B）（C）（D）

（7）在中国农历中，一年有 24 个节气，“立春”居首。北京 2022 年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节

气”的倒计时让全世界领略了中华智慧。墩墩同学要从 24 个节气中随机选取 3个介绍给外国的朋友，则这 3

个节气中含有“立春”的概率为

（A）（B）（C）（D）

（8）已知，则“ ”是“ ”的

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件

（9）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若

 

1A x x  

 

1 2B x x  ＜

A B 

 

1 3x x＜＜

 

1x x ＞

 

1 3x x  ＜

 

1x x  

lny x

y e

y x



i 2 iz 

 

S n

 

sin 5

a

 

sin 2 tana a



  

18



1 1 1 1

ABCD A B C DE

1 1

B AC E

,a b R

2 2

2a b 

1 1ab  

 

0y kx m k  

A B

2 2AB 

，则当，变化时，点到点的距离的最大值为

（A）（B）（C）（D）

（10）李明开发的小程序在发布时已有 500 名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数。

已知小程序发布经过 10 天后有 2000 名用户，则用户超过 50000 名至少经过的天数为

（本题取）

（A）31 （B）32 （C）33 （D）34

第二部分（非选择题共 110 分）

二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。

（11）在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）

（12）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示。若网格上小正方形的边长为

1，则 ________.

（13）已知抛物线过点，则 ________；若点，在

上，为的焦点，且，，成等比数列，则 ________.

（14）已知函数若，则不等式的解集为________；若恰有两个零

点，则的取值范围为________.

（15）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动。如图 1所示，线段

表示角楼的高，，，为三个可供选择的测量点，点，在同一水

平面内，与水平面垂直。现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下

六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为________.

（只需写出一种方案）

①，两点间的距离；

②，两点间的距离；

③ 由点观察点的仰角；

④ 由点观察点的仰角；

⑤和；

⑥和.

CA CB

 

1,1

4 2 3 2 2 2 2

   

A t A e

lg 2 0.30

 

2x



AB CD 

              

: 2C y px

 

2, 4P

p

 

4,Q y

 

,R t y

PF QF RF

t

 

, 0,

1, 0.

e kx x

f x kx x x

 



 



＜

0k

 

2f x ＜

 

f x

D E B



D A



ACEAEC

ADE

AED

三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题 13 分）

已知函数 .从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯

一确定．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）设，求函数在上的单调递增区间.

条件①：；

条件②：为偶函数；

条件③：的最大值为 1；

条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得 0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个

解答计分.

（17）（本小题 14 分）

如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上

一点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.

   

sin cos 0, 0f x a x x a

  

＞＞

 

f x

 

f x

   

2cos 1g x f x x



  

 

g x

 



  

 

 

 

f x

 

f x

 

f x



1 1 1

ABC A B C1

AA 

ABC

AB AC

11AB AC AA  

1 1

A C

BM AB

BCM



BCM

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