北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题答案

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东城区 2022—2023 学年度第一学期期末统一检测
高三数学参考答案及评分标准 2023.1
一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）
（1）A（2）C（3）B （4）D （5） D
（6）D （7）C （8）A（9）B （10）C
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25 分）
（11） （12） （答案不唯一）
（13） （14） （15）① ② ④
三、解答题（共 6小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：
又因为在锐角△ABC 中， ，所以 ． …………………6 分
（Ⅱ）因为 ，所以 .
在△ 中，由余弦定理 得
所以△ 的周长为 ． …………………13 分
（17）（共 15 分）
解：（I）在△ 中，过点 作 // 交 于点 ，连接 .
因为 // ，
所以 // ，
G
F
E
B
C
P
D
所以 ，，，四点共面.
因为 //平面 ，平面 ，
平面 平面 ，
所以 //
所以四边形 是平行四边形.
所以
所以 为 的中点. …………………6 分
（II）选条件①： .
因为底面 为正方形，
所以 .
又 ， ，
所以 平面 .
所以 .
如图建立空间直角坐标系 ，因为底面 是
边长为 2的正方形， ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 即
令 ，则 .于是 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则 .
所以直线 与平面 所成角为的正弦值为 . …………………15 分
选条件②： .
如图，连接 .
因为底面 是边长为 2的正方形，
所以 ， .
因为 ， ，
所以 .
所以 .
因为 ， ，
所以 平面
所以 .
以下同选条件① . …………………15 分
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，可得学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的频率
为 ，
因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间[13, 17)的概率为 ． …………………3 分
（Ⅱ）从全校学生中随机选取 1人，其一周参加课后活动的时间在区间[15, 17)的概率为 ．
因此 ξ．
F
E
B
C
P
A
D
y
x
z
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