北京市朝阳区2022届高三上学期期末数学试题 答案

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北京市朝阳区 2021-2022 学年度第一学期期末质量检测
高三数学试卷答案 2022.1
一、选择题：（本题满分 40 分）
题号 12345678910
答案 D A D B C B C D A A
二、填空题：（本题满分 25 分）
题号 11 12 13 14 15
答案 （结果不唯一） 垂直 ①②④
三、解答题：（本题满分 85 分）
16.(本小题满分 13 分)
解：（Ⅰ）
t=3
时， 此时 为直角三角形，
所以 . ............6 分
（Ⅱ）由题意可得，
即 所以 .则
此时三边为
所以 所以
所以 ............13 分
17.（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅参加学业辅导的学生有 人，仅参加体育锻炼的学生有
人，仅参加实践能力创新培养的学生有 人，未参加任何课后服务的学生有 14 人.
故样本中至少参加了两类课后服务的学生有 人.
所以从全校学生中随机抽取 1人，
该学生上个月至少参加了两类课后服务的概率估计值为 . ............4 分
（Ⅱ） 的所有可能值为 .
从样本中随机抽取 1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为 ，
由此估计从全校学生中随机抽取 1人，该学生上个月仅参加学业辅导的概率为 .
，
，
，
.
所以 X的分布列为
X0 1 2 3
P
故X的数学期望为 . ............10 分
（Ⅲ） . ............13 分
18. （本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）证明：正方形 中， ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． ............5 分
（Ⅱ）条件②符合题意．
过点 作 于点 ，过点 作 且交 于点 ，连接 ．
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， ，
所以 平面 ．所以 ．
以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系 ．
因为 平面 ,平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
在四边形 中， ， ， ，所以 ， .
在正方形 中， ，所以 ．
因为 ，且 ，所以 ．
所以 ， ， , , ．
所 以 ， ，
，
．
设平面 的一个法向量为 ．
由 得
令 ，所以 ．
设平面 的一个法向量为 ．
由 得 令 ，所以 ．
设平面 与平面 夹角为 ，则 .
所以平面 和平面 夹角的余弦值为 ． ............14 分
19. （本小题满分 15 分）
H
z
y
x
E
B
A
F
C
D
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