北京市朝阳区2022-2023学年高三上学期期中考试数学试卷答案

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数学 第 1 页（共 7 页）
北京市朝阳区 2022~2023 学年度第一学期期中质量检测
高三数学 参考答案 2022.11
一、选择题（共 10 小题，每小题 4分，共 40 分）
（1）B （2）C （3）B （4）A （5）A
（6）D （7）A （8）C （9）C （10）D
二、填空题（共 5小题，每小题 5分，共 25 分）
（11）
[ 2, 1) ( 1, )− − − + 
（12）
2
（13）
3
2
5
6
（14）
[0, )+
( 2,0]−
（15）①②③
三、解答题（共 6小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）因为
( ) sin2 cos2 1f x x x= − −
，
所以
()fx
的最小正周期
2ππ
2
T==
．
由
π
1 sin(2 ) 1
4
x−−≤ ≤
，得
π
2 1 2sin(2 ) 1 2 1
4
x− − − − −≤ ≤
．
当
π π
22π()
42
x k k− = + Z
，即
3π
π()
8
x k k= + Z
时，
()fx
取得最大值；
当
π π
22π()
42
x k k− = − Z
，即
π
π()
8
x k k= − Z
时，
()fx
取得最小值．
所以
()fx
的值域为
[ 2 1, 2 1]− − −
． ……………8分
（Ⅱ）函数
sinyx=
的单调递增区间为
π π
[2 π,2 π]( )
22
k k k− + Z
．
由
π π π
2π22π
2 4 2
k x k− − +≤ ≤
(
k
Z)，
得
π3π
π π
88
k x k−+≤ ≤
(
k
Z)．
所以
()fx
的单调递增区间为
π3π
[π,π]( )
88
k k k− + Z
．
……………13 分
数学 第 2 页（共 7 页）
（17）（共 15 分）
解：（Ⅰ）取
AC
中点
F
，连接
DF
，
1
AF
．
因为点
D
是
BC
的中点，
所以
//DF BA
，且
1
2
DF BA=
．
又因为点
E
是
11
AB
的中点，
所以
1//EA BA
，且
1
1
2
EA BA=
．
所以
1//EA DF
，且
1
EA DF=
．
所以四边形
1
DFA E
是平行四边形．
所以
1
//DE FA
．
又因为
DE
平面
11
ACC A
，
1
FA
平面
11
ACC A
，
所以
//DE
平面
11
ACC A
．
……………5分
（Ⅱ）因为侧面
11
ABB A
为矩形，所以
1
BA AA⊥
．
又因为平面
11
ABB A ⊥
平面
11
ACC A
，
且平面
11
ABB A
平面
1 1 1
ACC A AA=
，
所以
BA ⊥
平面
11
ACC A
．
所以
BA AC⊥
．
因为侧面
11
ACC A
是正方形，
所以
1
AC AA⊥
．
如图建立空间直角坐标系
A xyz−
，
则
(0,0,0)A
，
(2,0,1)D
，
(0,4,1)E
，
1(0,4,0)A
，
1(4,4,0)C
．
D
E
A
1
B
1
C
1
C
B
A
F
z
y
x
F
A
B
C
C
1
B
1
A
1
E
D
数学 第 3 页（共 7 页）
所以
(2,0,1)AD =
，
(0,4,1)AE =
，
11 (4,0,0)AC =
．
（ⅰ）因为
11 0AC AE=
，所以
11
AC AE⊥
．
（ⅱ）设平面
ADE
的法向量为
( , , )x y z=n
，
则
0,
0,
AD
AE
=
=
n
n
即
2 0,
4 0.
xz
yz
+=
+=
令
4z=
，则
2x=−
，
1y=−
．于是
( 2, 1,4)= − −n
．
设直线
11
AC
与平面
ADE
所成角为
，
则
11
11
||
| (4,0,0) ( 2, 1,4) | 2 21
sin 21
| || | 4 21
AC
AC
 − −
= = =
n
n
．
所以直线
11
AC
与平面
ADE
所成角的正弦值为
2 21
21
．
……………15 分
（18）（共 13 分）
解：选择条件②：
2b=
．
（Ⅰ）由正弦定理
sin sin
ab
AB
=
，得
sin
sin aB
Ab
=
．
又因为
2a=
，
π
6
B=
，
2b=
，所以
2
sin 4
A=
．
在
ABC△
中，因为
ab
，所以
0πAB
，
故
π
02
A
，
2
4
1 si 14
co ns AA ==−
．
所以
sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B= + = +
2 3 14 1 6 14
4 2 4 2 8
+
= +  =
．
因为
sin sin
ac
AC
=
，所以
sin 6 14
sin 2
aC
cA
+
==
．
……………9分
（Ⅱ）
1 1 6 14 1 3 7
sin 2
2 2 2 2 4
ABC
S ac B ++
= =   =
△
．
……………13 分
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