北京市北京师范大学附属中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷 含答案

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北京师大附中 2021-2022 学年下学期高一年级期末考试数学试卷
本试卷有三道大题，考试时长 120 分钟，满分 150 分。
一、选择题：每小题 4分，共 40 分，每题均只有一个正确答案。
1. 若点 M（-
√
3
，1）在角
α
的终边上，则 tan
α
＝
A.
√
3
3
B. -
√
3
3
C.
√
3
D. -
√
3
2. 已知向量 a＝（-1，2），b＝（x，4），且 a⊥b，则 x＝
A.
B. 2 C. 4 D. 8
3. 在复平面内，复数 z＝（1-i）2＋1对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 如图，PA⊥面 ABC，△ABC 中，BC⊥AC，则△PBC 是
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上都有可能
5. 若m，n为两条不同的直线，
α
，
β
为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是
A. 若m//
α
，m∥
β
，则
α
∥
β
B. 若m⊥
α
，
α
⊥
β
，则 m//
β
C. 若m
⊂
α
，m⊥
β
，则
α
⊥
β
D. 若m
⊂
α
，
α
⊥
β
，则 m⊥
β
6. 在△ABC 中，若 2 acosB＝c，则该三角形一定是
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定
7. 函数
f(x)
＝2sin（
ω
x＋ ）（
ω
＞0，| |< ）的部分图象如图所示，则
f(π)
＝
A. - B. - C. D.
8. 已知函数
f(x)
＝sin2x，x
∈
［a，b］，则“b-a≥
π
2
”是“
f(x)
的值域为［-1，1］”的
1
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图 1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与
圆柱的组合体（如图 2）。假设内壁表面光滑，其内壁表面积为 S平方厘米，半球的半径
为R厘米。当这种酒杯内壁表面积 S为定值时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的 2
倍，则 R的取值范围为
图1 图2
A. （0，
√
3S
10 π
] B. [
√
3S
10 π
，+
∞
）
C. [
√
3S
10 π
，
√
S
2π
）D. （
√
S
5π
，
√
3S
10 π
]
10. 已知四边形 ABCD 为矩形，AB＝4，AD＝2，M为AB 的中点，将△ADM 沿DM 折
起，得到四棱锥 A1-DMBC（如图），设 A1C的中点为 N。
在翻折过程中，有如下四个命题：
①BN∥平面 A1DM； ②BN 的长度为定值
√
5
；
③ 三棱锥 N-DMC 体积的最大值为
2
√
2
3
；
④ 在翻折过程中，存在某个位置，使得 DM⊥A1C。其中真命题的个数为
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
二、填空题：每小题 5分，共 25 分。
11. 复数
i
2+i
=_________。
12. 在△ABC 中，A＝60°，b＝1，其面积为
√
3
，则 a＝_________。
13. 已知某圆锥的侧面积为
√
5
π，该圆锥侧面的展开图是弧长为 2π 的扇形，则该圆锥的
2
体积为_________。
14. 已知平面向量 a，b，c满足 a＋b＋c＝0，且|a|=|b|=|c|＝1，则 a·b的值为________。
15. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 a，点 E，F，G分别为棱 AB，AA1，C1D1的中
点，下列结论中，正确结论的序号是________。
①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；
②B1D1∥平面 EFG；
③BD1⊥平面 ACB1；
④ 四面体 ACB1D1的体积等于
1
2a3
。
三、解答题：共 6小题，共 85 分。解答时写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. （本小题 14 分）
在△ABC 中，b＝2
√
3
，c＝3，cosB＝-
1
3
。
（I）求 sinC 的值；
（Ⅱ）求△ABC 的面积。
17. （本小题 14 分）
如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，D、E分别为 BC、AC 的中点，AB＝BC。
（I）求证：A1B1∥平面 DEC1；
（Ⅱ）求证：BE⊥C1E。
18. （本小题 14 分）
已知函数
f(x)
＝cos2x＋
√
3
sinx cosx-
1
2
。
（I）求函数
f(x)
的单调递增区间；
3
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