北京市2022-2023学年高三“极光杯”跨年线上测试数学试题答案【定稿】

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跨年测试参考答案 第1页（共 5页）
2022-2023 年度“极光杯”跨年线上测试
数学参考答案
一、选择题
1. A
2. B
3. B
4. C
5. D
6. C
7. D
8. A
二、选择题
9. BC
10. ACD
11. AB
三、填空题
12.
5
3
13. 128
14.
3
四、解答题
15. 解：
（1）由
| | | | 1  a a b
可得
2 2 2
21   a a a b b
，
所以
.
又因为
a
，
b
的夹角为
3

，故
11
| | | | | |
22
   a b a b b
.
联立两式可得
2
| | | | 0bb
，结合
b
是非零向量可得
| | 1b
.
所以
2 2 2
| | 2 1 1 1 3      a b a a b b
，则
| | 3 3 | |  a b b
.
（2）
2 2 2 2 2 2
13
| | 2 1 ( )
24
t t t t t t   a b a a b b
，
所以当
1
2
t
时，
2
||tab
取最小值
3
4
，即
||tab
取最小值
3
2
.
跨年测试参考答案 第2页（共 5页）
16. 解：
（1）设圆锥
SO
的母线长为
l
，底面圆半径为
r
，则其侧面展开图是半径为
l
，弧长
为
2r
的扇形. 由条件可知
22
rl

，
1(2 ) 4
2lr  
，解得
4l
，
1r
.
则
22 15SO l r  
，圆锥
SO
的体积为
215
33
V r h
 
.
（2）由圆锥的性质，
SO
平面
OAB
，则
SO OA
，
SO OB
.
又平面
SOA
平面
SOB
，所以
OA OB
，从而
OA
，
OB
，
OS
两两垂直.
以
O
为原点，
OA
，
OB
，
OS
分别为
x
，
y
，
z
轴正方向建立空间直角坐标系
O xyz
.
可以得到
(1,0,0)A
，
(0,1,0)B
，
(0,0, 15)S
.
设平面
ABS
和平面
OBS
的一个法向量分别为
1 1 1 1
( , , )x y zn
，
2 2 2 2
( , , )x y zn
.
则
1
1
0
0
AB
AS


n
n
，即
11
11
0
15 0
xy
xz
 
 
，令
11z
可得
1( 15, 15,1)n
；
2
2
0
0
OB
OS


n
n
，
即
2
2
0
15 0
y
z
，令
21z
可得
2(1,0,0)n
. 所以
12
12
12
||
15 465
cos , | | | | 31
31
 
nn
nn nn
.
又因为二面角
A BS O
为锐二面角，所以其余弦值为
465
31
.
17. 解：
（1）这组观测值的中位数是
1(201.9 207.2) 204.55
2
e
m  
.
把序列中小于
e
m
的观测值替换为 0，大于或等于
e
m
的观测值替换为 1，得到序列
0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0.
其中 0的游程数为 7.
（2）这组观测值的总游程数为 13.
由题设知
(6 16) 0.95PR 
，因此有
95%
的把握认为这 20 根电缆是随机取自于同
一总体.
（3）优点：操作容易，计算量小；不受总体分布的限制.
缺点：对样本信息使用不充分；游程的取值为整数，易产生误差.
（答案不唯一，言之有理即可）
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