北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题答案

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第1页（共 6页）
高二年级数学 参考答案
第Ⅰ卷（共 100 分）
一、选择题（每小题 4分，共 40 分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
B
A
A
C
B
D
二、填空题（每小题 5分，共 25 分）
11
12
13
14
15
3
4
2
2
5
11
4
yx
或
11
4
yx 
②③④
三、解答题（共 35 分）
16. 解：（Ⅰ）当
3t
时，
31
cos , | | | | 2
2 3 2
 
ab
ab ab
.
因为
, [0, ]  ab
，所以
,3
 ab
.
（Ⅱ）因为
22
(2 )(2 ) 4| | | |   a b a b a b
22
8 ( 9) 1 0tt  
因此，对任意
tR
，
2ab
与
2ab
不垂直
（Ⅲ） 由题意知，
ab
∥
(0,0,1)
即存在
kR
，使得
(0,0,1)k
ab
则
( 3, , ) (0,0, )tk

 
即
30
0t
k


，解得
3

，
0t
17. 解：（Ⅰ）因为
PD
平面
ABCD
，四边形
ABCD
为矩形，因此
,,PD AD CD
两两垂直，
以
D
为坐标原点，分别以
DA
uuur
，
DC
uuur
，
DP
uuur
的方向为
,,x y z
轴的正方向建立空间直角坐标
系
D xyz
.
第2页（共 6页）
y
x
A
B
C
D
O
M
P
Q
(0,0,2 3)P
，
(2,4,0)B
，
(2,0,0)A
，
(1,2, 3)M
，
(0,1,0)N
( 2,1,0)AN 
uuur
，
( 1,2,2 3)AM 
uuur
，
(2,4, 2 3)PB 
uur
.
因为
2 ( 1) 4 2 ( 2 3) 2 3 0PB AM  
uur uuur
，
所以
PB AM
uur uuur
，即
PB AM
因为
2 ( 2) 4 1 ( 2 3) 0 0PB AN  
uur uuur
，
所以
PB AN
uur uuur
，即
PB AN
又因为
AM AN AI
，因此
PB
平面
AMN
（Ⅱ）因为
PD
平面
ABCD
，所以
(0,0,1)n
为平面
ANB
的一个法向量
由（Ⅰ）知
(2,4, 2 3)PB 
uur
为平面
AMN
的一个法向量.
2 2 2
(2,4, 2 3) (0,0,1) 6
cos , 4
| | | | 2 4 ( 2 3)
PB
PB PB
 
  
 
n
nn
uur
uur uur
设所求角为
，由图知
为锐角，因此
6
cos 4
（Ⅲ）点
D
到平面
AMN
的距离
2 2 2
(2,0,0) (2,4, 2 3) 2
2
|| 2 4 ( 2 3)
DA PB
dPB
 
 
 
uuur uur
uur
18. 解：以
O
为原点，
OB
uuur
，
OM
uuur
的方向为
,xy
轴正方向建立平面直角坐标系.
图中直线
AC
的方程为
11
22
yx
.
选择①：设
(1, )Pk
，
则直线
POQ
的方程为
y kx
，
联立
11
22
yx
y kx

，
z
y
x
P
D
A
B
C
M
N
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