北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

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2022 北京北师大实验中学高二（上）期中

数学

班级_________ 姓名_________ 学号_________ 成绩_________

考

生

须

知

1．本试卷共 7页，共五道大题，25 道小题，答题卡共 4页，满分 150 分，考试时间 120 分钟

2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号

3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．在答题卡上，选择题须用 2B 铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答

第I卷(共100 分)

一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4分，共 40 分)

1．已知空间向量，，则

A．B．C．1 D．2

2．若直线与垂直，则

A．B．2 C．D．

3．若表示圆的方程，则的取值范围是

A．B．C．D．

4．平行六面体中，设，，，若为的中点，则

A．B．C．D．

5．已知，，则线段上靠近的三等分点的坐标为

A．B．C．D．

6．设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正

确的是

① 若，则与所成的角为 30°；

② 若与所成角为，则；

③ 若，则平面与所成的角为 60°；

④ 若平面与所成的角为 60°，则

A．③ B．①③ C．②④ D．①③④

7．点关于直线的对称点的坐标为

A．B．C．D．

8．三棱锥中，两两垂直，，，则点到平面的距离为

A．B．C．D．

9．已知点的坐标为，圆与轴交于两点，与轴交于两点，则“ ”是

“ ”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件

10．设为函数图像上的动点，是圆 (其中）上的动点，

若最小值为 1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为

A．B．C．D．

二、填空题(本大题共 5小题，每小题 5分，共 25 分)

11．过点，的直线的倾斜角为_________．

12．若，，为共面向量，则的值为_________．

13．正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦

值为_________．

14．平面直角坐标系中，已知直线过点，与坐标轴围成的三角形的面积为 2，则直线的方程为___

______．

15．如图，四棱锥中，底面是边长为 2的正方形，是等边三角形，平面平面

分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，

给出下列四个结论：

① 直线与平面所成角为 45°；

② 二面角的余弦值为；

③ 点到平面的距离为定值；

④ 线段长度的取值范围是

其中所有正确结论的序号是____________

三、解答题(本大题共 3小题，共 35 分)

16．(本小题满分 12 分)

已知向量，．

(I)若，求；

(Ⅱ)求证：对任意，与不垂直；

(Ⅲ)若与轴平行，求，的值

17．(本小题满分 13 分)

如图，四棱锥中，平面，底面四边形

为矩形，，，，为

中点，为靠近的四等分点．

(I)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值：

(Ⅲ)求点到平面的距离．

18．(本小题满分 10 分)

用坐标法解答以下问题

如图，已知矩形中，，，分别为的中点，

为延长线上一点，________．

从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一

个解答计分，

① 连接并延长交于点，求证：；

② 取上一点，使得，求证：三点共线．

第Ⅱ卷(共50 分)

四、填空题(本大题共 4小题，每小题 4分，共 16 分)

19．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为 2km 的圆形区域内。已知小岛中

心位于轮船正西 4km 处，陆上的港口位于小岛中心正北 3km 处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁

危险？________(填“是”或“否”)

20．已知点，，，直线，若直线与线段有公共点，则的最

大值为________；若直线与线段有公共点，则的取值范围是________．

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