上海市杨浦区控江中学2021届高三数学三模试卷 含解析

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2021 年上海市杨浦区控江中学高考数学三模试卷
一、填空题（共 12 小题）.
1．函数 f（x）＝x的定义域为　
　 ．
2．若一个圆锥的轴截面是面积为 的等边三角形，则该圆锥的表面积为　
　 ．
3．已知各项为正的等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a5+a7﹣a62＝0，则 S11＝　
　 ．
4．幂函数 y＝ （m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则 m＝　
　 ．
5．已知△ABC 的三边长分别为 3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　
　 ．
6．若复数（1+ai）（2﹣i）在复平面上所对应的点在直线 y＝x上，则实数 a＝　
　 ．
7．若 x、y满足|x|≤y+1，且 y≤1，则 x+3y的最大值为　
　 ．
8．设函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，当 x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x，则不等式 f（x）
﹣f（x﹣1）＜0的解集为　
　 ．
9．若数列{an}的通项公式是 an＝ ，n＝1，2，…，则
（a1+a2+…+an）＝　
　
10．甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为 a与b，乙的骰
子点数为 c．则掷出的点数满足 a⋅b＝c的概率为　
　 .（用最简分数表示）
11．已知 a是实数，在（1+ax）8的二项展开式中，第 k+1 项的系数为 ，（k＝
0，1，2，3， ，⋯8），若 c1＞c2＞c3＞ ＞⋯c9，则 a的取值范围为　
　 ．
12 ．设正四面体 P1P2P3P4在空间直角坐标系中点 Pi的坐标为（xi，yi，zi） （ i＝
1，2，3，4），集合 A＝{y|存在 i∈{1，2，3，4}，使得 y＝yi}，则集合 A的元素个数可
能为 　
　 种（写出所有可能的值）
二、选择题（共 4小题）.
13．方程 在区间[﹣2π，2π）上的解的个数是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
14．已知直线 l平行于平面 α，平面 β垂直于平面 α，则以下关于直线 l与平面 β的位置关
系的表述，正确的是 （　　）
A．l与β垂直
B．l与β无公共点
C．l与β至少有一个公共点
D．在 β内，l与β平行，l与β相交都有可能
15．设三角形 ABC 是位于平面直角坐标系 xOy 的第一象限中的一个不等边三角形，该平面
上的动点 P满足：|PA|2+|PB|2+|PC|2＝|OA|2+|OB|2+|OC|2，已知动点 P的轨迹是一个圆，则
该圆的圆心位于三角形 ABC 的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
16．已知 y＝f（x）与 y＝g（x）皆是定义域、值域均为 R的函数，若对任意 x∈R，f（x）
＜g（x）恒成立，且 y＝f（x）与 y＝g（x）的反函数 y＝f﹣1（x）、y＝g﹣1（x）均存在，
命题 P：“对任意 x∈R，f﹣1（x）＞g﹣1（x）恒成立”，命题 Q：“函数 y＝f（x）
+g（x）的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（　　）
A．命题 P真，命题 Q真B．命题 P真，命题 Q假
C．命题 P假，命题 Q真D．命题 P假，命题 Q假
三、解答题
17．如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为 1，高为 2的圆锥，下部是
一个底面半径为 1，高为 2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆
柱的上底面重合，点 P是圆锥的顶点，AB 是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱
的两条母线，C是弧 的中点．
（1）求异面直线 PA1与BC 所成的角的大小；
（2）求点 B1到平面 PAC 的距离．
18．已知 α、λ是实常数，f（x）＝ ．
（1）当 λ＝1，α＝ 时，求函数 y＝f（x）的最小正周期、单调增区间与最大值；
（2）是否存在 λ，使得 f（x）是与 α有关的常数函数（即 f（x）的值与 x的取值无关）？
若存在，求出所有满足条件的 λ，若不存在，说明理由．
19．已知常数 a∈R，k∈N*，函数 ，x∈（0，+∞）．
（1）当 a＝1，k＝2时，判断函数 f（x）在区间[2，+∞）的单调性并证明；
（2）当 k＝1时，若关于 x的方程 恰有两个相异实根，求
实数 a的取值范围．
20．已知常数 p＞0，抛物线 Γ：y2＝2px 的焦点为 F．
（1）若直线 x＝2被Γ截得的弦长为 4，求 p的值：
（2）设 E为点 F关于原点 O的对称点，P为Γ上的动点，求 的取值范围；
（3）设 p＝2，直线 l1、l2均过点 F，且 l1⊥l2，l1与Γ相交于 A、B两点，l2与Γ相交于
C、D两点，若 AC⊥BC，求四边形 ACBD 的面积．
21．设各项均为整数的无穷数列{an}满足 a1＝1，且对所有 n∈N*，|an+1﹣an|＝n均成立．
（1）求 a1+a2+a3的所有可能值；
（2）若数列{an}使得无穷数列 a1、a3、a5、 、⋯a2n﹣1、 是公差为⋯1的等差数列，求数
列{an}的通项公式；
（3）求证：存在满足条件的数列{an}，使得在该数列中有无穷多项为 2021．
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