上海市杨浦高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】

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2020-2021 学年上海市杨浦高级中学高二（下）期末数学试卷
一、填空题
1．函数 f（x）＝lg（1﹣3x）的定义域为 　
　 ．
2．函数 的值域是　
　 ．
3．若函数 f（x）＝loga（x+b）的图象过点（1，2），则 （x）﹣1的图象经过点
．
4．圆锥底面半径为 1cm，母线长为 2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角 θ＝　
　 ．
5．若“x＜2”是“x＜a”的充分非必要条件，则实数 a的取值范围是　
　 ．
6．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为　
　 ．
7．方程 的解为 x＝　
　 ．
8．不等式 的解集为 　
　 ．
9．设 f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且 f（2）＝1，对于任意正数 x、y满足等式
f（xy）＝f（x）+f（y），不等式 f（x）+f（x﹣3）≤2的解集为 　
　 ．
10．已知函数 f（x）＝lg（+ax）的定义域为 R，则实数 a的取值范围是　
　 ．
11．已知 a＞b＞0，那么当代数式 取最小值时，点 P（a，b）的坐标为
．
12．关于函数 ，给出以下四个命题：
①当x＞0时，y＝f（x）单调递减且没有最值：
②方程 f（x）＝kx+b（k≠0）一定有实数解：
③如果方程 f（x）＝m（m为常数）有解，则解的个数一定是偶数；
④y＝f（x）是偶函数且有最小值．
其中假命题的序号是 　
　 ．
二.选择题
13．已知直线 a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题正确的
是（　　）
A．若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β
B．若 a∥α，b∥β，α∥β，则 a∥b
C．若 a⊥b，b⊥α，a∥β，则 α∥β
D．若 α∥β，a与α所成角和 b与β所成角相等，则 a∥b
14．设[x]表示不超过 x的最大整数，如[4.1]＝4，则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0的解集是（
　）
A．[2，3] B．[2，4] C．[2，4）D．[3，4）
15．设集合 P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b
＞0}，其中 a，b∈R，下列说法正确的是（　　）
A．对任意 a，P1是P2的子集，对任意 b，Q1不是 Q2的子集
B．对任意 a，P1是P2的子集，存在 b，使得 Q1是Q2的子集
C．存在 a，P1不是 P2的子集，对任意 b，Q1不是 Q2的子集
D．存在 a，P1不是 P2的子集，存在 b，使得 Q1是Q2的子集
16．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，点 P是棱 CC1的中点，设直线 AB 为a，直线 A1D1为
b，对于下列两个命题：①过点 P有且只有一条直线 l与a、b都相交；②过点 P有且只
有一条直线 l与a、b都成 45°角，以下判断正确的是（　　）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
三.解答题
17．已知全集 U＝R，A＝{m|关于 x的方程有正负相异的实数根 x2﹣2x+4﹣|m﹣1|＝0}，非
空集合 B＝{x|（x﹣2a）（x﹣1）＜0}．
（1）求集合 B；
（2）求集合∁UA；
（3）若 x∈∁UA是x∈B的必要非充分条件，求实数 a的取值范围；
18．某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把
半径为 10cm 的圆形蛋皮分成 5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略
不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到 0.01）．
19．如图所示，在三棱锥 P﹣ABC 中，PC⊥平面 ABC，PC＝2，AC⊥BC，D、E分别为线
段AB、BC 上的点，且 ，CE＝2EB＝2．
（1）证明：DE⊥平面 PCD；
（2）已知 ，求锐二面角 A﹣PD﹣C的余弦值．
20．近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可使用 15 年
的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳
能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为 0.5．为了保证正常用电，安
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