上海市徐汇区位育中学2021届高三上学期期中数学试卷 含解析

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2020-2021 学年上海市徐汇区位育中学高三（上）期中数学试卷
一、填空题（共 12 小题）.
1．设集合 A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则 A∩B＝　
　 ．
2．计算： ＝　
　 ．
3．已知复数 z满足 ＝i，i为虚数单位，则 z＝　
　 ．
4．已知函数 y＝x3，则此函数的反函数是　
　 ．
5．已知 x、y满足 ，则 z＝y﹣2x的最大值为　
　 ．
6．已知行列式 ，则 ＝　
　 ．
7．某单位有职工 52 人，现将所有职工按 1、2、3、…、52 随机编号，若采用系统抽样的方
法抽取一个容量为 4的样本，已知 6号、32 号、45 号职工在样本中，则样本中还有一个
职工的编号是　
　 ．
8．已知数列{an}是无穷等比数列，其前 n项和为 Sn，若 a2+a3＝3，a3+a4＝ ，则 ＝
．
9．在停课不停学期间，某校有四位教师参加三项不同的公益教学活动，每位教师任选一项，
则每个项目都有该校教师参加的概率为　
　 （结果用数值表示）．
10．已知 F1，F2是椭圆 的左、右焦点，过原点 O且倾斜角为 60°的
直线与椭圆 C的一个交点为 M，若 ，则椭圆 C的长轴长为
．
11．已知点 M、N在以 AB 为直径的圆上．若 AB＝5，AM＝3，BN＝2，则 ＝　
　 ．
12．已知球 O是三棱锥 P﹣ABC 的外接球，PA＝AB＝BC＝CA＝2，PB＝2，点 D为BC 的
中点，且 PD＝ ，则球 O的体积为　
　 ．
二、选择题（共 4小题）.
13．下列不等式恒成立的是（　　）
A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．D．
14．若函数 f（x）＝sinx+acosx的图象关于直线 对称，则 a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．D．
15．对于函数 f（n）＝ （n∈N*），我们可以发现 f（n）有许多性质，如：f（2k）
＝0（k∈N*）等，下列关于 f（n）的性质中一定成立的是（　　）
A．f（n+1）﹣f（n）＝1
B．f（n+k）＝f（n）（k∈N*）
C．αf（n）＝f（n+1）+αf（n）（α≠0）
D．αf（n+1）＝α﹣（α+1）f（n）（α≠0）
16．函数 f（x）是定义在 R上的奇函数，且 f（x﹣1）为偶函数，当 x∈[0，1]时， ，
若函数 g（x）＝f（x）﹣x﹣m有三个零点，则实数 m的取值范围是（　　）
A．B．
C．D．
三、解答题
17．如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝2，D是AB 的中点．
（1）若三棱柱 ABC﹣A1B1C1的体积为 ，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1的高；
（2）若 C1C＝2，求二面角 D﹣B1C1﹣A1的大小．
18．已知函数 （a为实常数）．
（1）讨论函数 f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当 f（x）为奇函数时，对任意的 x∈[1，5]，不等式 恒成立，求实数 u的
最大值．
19．某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为 米、圆心为 60°的扇形
OAB 草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗为矩形，其四个顶
点中有两个顶点 M、N在线段 OB 上，另两个顶点 P、Q分别在弧 、线段 OA 上．
（1）若组成的红旗是长 PN 与宽 MN 的长度比为 3：2的国旗图案，求此国旗的面积；
（2）求组成的红旗图案的最大面积．
20．已知抛物线 y2＝2px（p＞0），其准线方程为 x+1＝0，直线 l过点 T（t，0）（t＞0）且
与抛物线交于 A、B两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线方程，并证明： • 的值与直线 l倾斜角的大小无关；
（2）若 P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数 d（t），求 d（t）的解析式．
21．设数列{an}的各项都是正数，若对于任意的正整数 m，存在 k∈N*，使得 am、am+k、am+2k成
等比数列，则称数列{an}为“Dk型”数列．
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