上海市静安区2021届高三高考二模数学试卷 含解析

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2021 年上海市静安区高三高考数学二模试卷
一、填空题（共 8小题）.
1．（x2+）8的展开式中 x4项的系数是　
　 ．
2．设变量 x，y满足约束条件 ，则 z＝x+y的最大值为　
　 ．
3．已知奇函数 y＝f（x）的周期为 2，且当 x∈（0，1）时，f（x）＝log2x．则 f（7.5）的值为
4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为　
　 ．
5．投掷两颗六个面上分别刻有 1到6的点数的均匀的骰子，得到其向上的点数分别为 m和
n，则复数 为虚数的概率为　
　 ．
6．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为 500 立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的
长和宽之和为 20 米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价
最低，蓄水池的高应该为　
　 米．
7．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P为梯形的腰
DC 上的动点，则| +3 |的最小值为　
　 ．
8．已知桶 A0中盛有 2升水，桶 B0中盛有 1升水．现将桶 A0中的水的 和桶 B0中的水的 倒
入桶 A1中，再将桶 A0与桶 B0中剩余的水倒入桶 B1中；然后将桶 A1中的水的 和桶 B1中
的水的 倒入桶 A2中，再将桶 A1与桶 B1中剩余的水倒入桶 B2中；若如此继续操作下去，
则桶 An（n∈N*）中的水比桶 Bn（n∈N*）中的水多　
　 升．
二、选择题（本大题共 3题，每题 6分，共 18 分）
9．函数 y＝x2（x≤0）的反函数为（　　）
A．y＝ （x≥0）B．y＝﹣ （x≥0）C．y＝ （x≤0）D．y＝﹣ （x≤0）
10．某高科技公司所有雇员的工资情况如表所示．
年薪（万
元）
135 95 80 70 60 52 40 31
人数 1 1 2 1 3 4 1 12
该公司雇员年薪的标准差约为（　　）
A．24.5（万元） B．25.5（万元） C．26.5（万元） D．27.5（万元）
11．在 1，2，3，4，5，6，7中任取 6个不同的数作为一个 3行2列矩阵的元素，要求矩阵
的第 2行的两个数字之和等于 5，而矩阵的第 1行和第 3行的两个数字之和都不等于 5，则
可组成不同矩阵的个数为（　　）
A．204 B．260 C．384 D．480
三、解答题（本大题共有 5题，共 84 分)
12．已知正方形 ABED 的边长为 ，O为两条对角线的交点，如图所示，将 Rt△BED 沿BD
所在的直线折起，使得点 E移至点 C，满足 AB＝AC．
（1）求四面体 ABCD 的体积 V；
（2）请计算：
①直线 BC 与AD 所成角的大小；
②直线 BC 与平面 ACD 所成的角的大小．
13．设 f（x）＝ （常数 a∈R），且已知 x＝3是方程 f（x）﹣x+12＝0的根．
（1）求函数 y＝f（x）的值域；
（2）设常数 k∈R，解关于 x的不等式：（2﹣x）f（x）＜（k+1）x﹣k．
14．（16 分）已知椭圆 +y2＝1的左焦点为 F，O为坐标原点．
（1）求过点 F、O，并且与抛物线 y2＝8x的准线相切的圆的方程；
（2）设过点 F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A，B两点，线段 AB 的垂直平分线与 x
轴交于点 G，求点 G的横坐标的取值范围．
15．（18 分）将正奇数 1，3，5，7，……按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已
知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的 2倍．设
aij（i，j∈N*）是位于这个数阵中第 i行（从上往下数）、第 j列（从左往右数）的数．
（1）设 bn＝an1（n∈N*），求数列{bn}的通项公式；
（2）若 amn＝2021，求 m、n的值；
（3）若记这个数阵中第 n行各数的和为 Sn，数列{Sn}的前n项和为 Tn，求极限
的值．
16．（22 分）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P（x，y）绕坐标原点 O旋转角θ至
点P′（x′，y′）．
（1）试证明点的旋转坐标公式： ．
（2）设 θ∈（0，2π），点 P（0，﹣1）绕坐标原点 O旋转角θ至点 P1，点 P1再绕坐标原
点O旋转角θ至点 P2，且直线 P1P2的斜率k＝﹣1，求角 θ的值；
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