上海市金山区2021届高三下学期4月质量监控（二模）数学试题 含答案

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金山区 2020 学年第二学期质量监控
高三数学试卷
(满分：150 分，完卷时间：120 分钟)
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1–6 题每题 4分，第 7–12 题每题 5
分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．
1．已知集合 ，集合 ，若 ，则 = ．
2．若关于 的二元一次方程组的增广矩阵为 ，则 = ．
3．不等式 ≥0的解集为 ．
4．若直线 的参数方程为 （t为参数，tR），则 在 轴上的截距为 ．
5．若 （a、bR，i为虚数单位），则 a+b = ．
6．某圆锥的底面积为 ，侧面积为 ，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为
．
7．若正方形 ABCD 的边长为 1，记 ， ， ，则 ．
8．一个不透明的袋中装有 5个白球、4个红球（9个球除颜色外其余完全相同），经
充分混合后，从袋中随机摸出 3个球，则摸出的 3个球中至少有一个是白球的概率为_
______（结果用最简分数表示）．
9．若首项为 1、公比为 的无穷等比数列的各项和为 ， 表示该数列的前 项和，
则 的值为 ．
10 ． 函 数 （ a>1 且a≠1） 的 图 像 恒 过 点 A， 若 点 A在 直 线
mx+ny+1=0，其中 m>0，n>0，则 的最小值为 ．
11．若函数 ，其中 ≤x≤ ，则 的最
大值为 ．
12．已知向量 与 的夹角为 60º，且 ，若 ，其中
，则向量 在 上的投影的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共 4小题，满分 20 分，每小题 5分）每题有且只有一个正确选项．
考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．函数 （ ）的最小正周期为( )．
(A) (B) (C) (D)
14．下列命题为真命题的是( )．
(A) 若直线 l与平面 α上的两条直线垂直，则直线 l与平面 α垂直
(B) 若两条直线同时垂直于一个平面，则这两条直线平行
(C) 若两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面垂直
(D) 若直线 l上的不同两点到平面 α的距离相等，则直线 l与平面 α平行
15．设 A、B为圆 上的两动点，且∠AOB=120º，P为直线 l：3x – 4y –
15=0 上一动点，则 的最小值为( )．
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
16 ．已知定义在实数集 上的函数 满足 ，则
的最大值为( )．
(A) (B) (C) (D)
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤．
17．(本题满分 14 分，第 1小题满分 5分，第 2小题满分 9
分)
随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻
炼.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领
健康生活的一道亮丽风景线. 如图，A
-
B
-
C
-
A为某区的
一条健康步道，AB、AC 为线段， 是以 BC 为直径的半圆，AB=
km，AC=4km， ．
(1) 求 的长度；
(2) 为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新建健康
步道 A
-
D
-
C（B，D在AC 两侧），其中 AD，CD 为线段. 若 ，求新
建的健康步道 A
-
D
-
C的路程最多可比原有健康步道 A
-
B
-
C的路程增加多少长度？
（精确到 ）
18．(本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分)
在长方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
中，
2AB BC 
，过
1
A
、
1
C
、
B
三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的
A B
C
D
1
A
1
C
1
D
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