上海市建平中学2021届高三下学期开学考试数学试题 含答案

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建平中学 2021 届高三下学期开学考试
数学
2021.02.24
一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分）只要求直接填写结果，1-6 题每个空格填对得 4分，7-12 题
每个空格填对得 5分，否则一律得零分.
1. 已知集合 ， ，则 __________.
2. 复数 的实部为___________.
3. 已知球的半径为 3，则它的体积为__________.
4. 已知 ，则 __________.
5. 若直线 ： 与 ： 互相垂直，则实数 __________.
6. 已知 且 ，设函数 的最大值为 1，则实数 的取值范围是__________
_.
7. 若多项式 ，则 的值为_________.
8. 若抛物线 的准线与曲线 只有一个交点，则实数 的取值范围是__________.
9. 甲和乙等六名志愿者参加进博会 ， ， ， ， 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个
岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为 _____________.（结果用数字表
示）
10. 已知 中， ， ，若点 在边 上，且 ， ，则 的
长为___________.
11. 有限集 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如 的“积数”为 2， 的“积数”为 6，
的“积数”为 ，则数集 的所有非空子集的“积
数”的和为___________.
12. 已知 是奇函数，定义域为 .当 时， ，当函
数 有 3个零点，实数 的取值范围是__________.
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，
将代表答案的小方格涂黑.选对得 5分，否则一律得零分.
13. 已知实数 ， ， 满足 ，则“ ”是“方程 表示的曲线为椭圆”
的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
14. 当 时，方程组 的解的情况为（ ）
A. 仅有唯一解 B. 有唯一解或无穷多解
C. 无解或无穷多解 D. 有唯一解或无解
15. 在棱长为 2的正方体 中，点 ， 分别是线段 ， （不包括端点）上的动点，
且线段 平行于平面 ，则四面体 的体积的最大值为（ ）
A. 2 B. C. D.
16. 已知 的外接圆圆心为 ， ，若 ，则 的最大值为（
）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有 5小题，满分 76 分）解答下列各题必须写出必要的步骤.
17. 如图，在三棱锥 中， 底面 ， 是边长为 4的正三角形，侧棱 与底面所
成角为 .
（1）求三棱锥 的体积 ；
（2）若 为 中点，求异面直线 与 所成角的大小.
18. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期及单调递减区间；
（2）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积
为 ，求 的值.
19. 提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度
（单位：千米/小时）和车流密度 （单位：辆/千米）满足关系式：
.研究表明：当隧道内的车流密度达到 120 辆/千米时造成堵塞，此
时车道速度是 0千米/小时.
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