上海市建平中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题含答案

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建平中学 2020 学年高一年级第二学期数学期末考试试卷
考试时间：120 分钟
1．本试卷共 3大题，满分 150 分；
2．所有答案均写在答题纸上，写在本试卷上无效；
3．除填空、选择题外，其余题目若无特殊要求，均要写出必要的解题步骤．s
一、填空题：（本大题共 12 小题，1-6 题每题 4分，7-12 题每题 5分，共 54 分）
1．函数 的最小正周期为______．
2．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 ______．
3．设 ， ，且 ，则点 的坐标是______．
4．已知数列 的前 项和 ，则该数列的通项公式 ______．
5．已知 ， ，则 在 向上的数量投影为______．
6．已知 ，则 ______ ．
7．关于 的方程 的一个根是 ，则 ______．
8． 是虚数单位，则 ______．
9．如图，在三角形 中，点 是边 的中点， 是 的中点，若 ，则 ___
___．
10 ．定义：复数 是 的转置复数，记为 ．若 ，则
的最大值为______．
11．定义两个平面向量的一种新运算： ，其中 表示 ， 的夹角．
对于平面．上的任意 ， ， 向量， ，下列运算性质一定成立的是______．
① 若 ，则 与 共线
②
③
④
12 ． 中 ， 三 边 ， ， 满 足 成 等 差 数 列 ， 三 角 ， ， 满 足 ． 且
，若存在动点 满足 ，且 ，则 的最大值为______．
二、选择题（每题 5分，共 20 分）
13．设 ， ， 是虚数单位，则“ ”是“复数 a+- 纯虚数”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知向量 ，则下列能使 （ 、 ）成立的一组向量 ， 是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
15．设复数 满足条件 ，则 对应复平面上的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．如图所示，半径为 1的圆 始终内切于直角梯形 ，则当 的长度增加时，以下结论：①
越来越小；② 保持不变．它们成立的情况是（ ）
A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
三、解答题（本大题共 76 分）
17．（满分 14 分，第一题 7分，第二题 7分）
设 是公比大于 1的等比数列， 为数列 的前 项和．已知 ，且 ， ， 构成等
差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）令 ，求数列 的前 项和 ．
18．（满分 14 分，第一题 7分，第二题 7分）
已知向量 ， 不共线， 为实数．
（1）若 ， ， ，当 为何值时， ， ， 三点共线；
（2）若 ，且 与 的夹角为 120°，实数 ，求 的取值范围．
19．（满分 14 分，第一题 7分，第二题 7分）
已知复数 ， ， 为虚数单位， ， ， ，且 ．
（1）若 且 ，求 的值；
（2）设 ，已知 ，求 ．
20．（满分 16 分，第一题 4分，第二题 6分，第三题 6分）
已知 ， ， ．
（1）记函数 ，求函数 取最大值时 的取值范围；
（2）求证： 与 不平行；
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