上海市虹口区复兴高级中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 含解析【精准解析】

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2020-2021 学年上海市虹口区复兴高级中学高一（下）期末数学
试卷
一、填空题（共 12 小题）.
1．函数 的最小正周期为　
　 ．
2．若 1+i是关于 x的实系数方程 x2+bx+c＝0的一个复数根，则 c＝　
　 ．
3．在复平面内，复数 6﹣5i、﹣2+3i对应的点分别为 A、B，若 C为线段 AB 的中点，则点
C对应的复数是 　
　 ．
4．砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富
书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形 OCD 截去同心扇形 OAB 所得部分．已知
OA＝0.5m，AD＝0.9m，∠AOB＝100°，则该扇环形砖雕的面积为　
　 m2．
5．已知复数 z满足 ，则 z＝　
　 ．
6．已知数列{an}的前 n项和 Sn，满足 ，则其通项公式为 　
　 ．
7．已知等差数列 a1、a2、…、a100 的前 10 项之和为 10，最后 10 项之和为 100，则 a1＝
．
8．设 z1、z2∈C，若|z1|＝|z2|＝1，则 的最大值为 　
　 ．
9． 已 知 、 为 单 位 向 量 ， ， 则 在 方 向 上 的 投 影 为
．
10 ．向量数列 满足 ，且满足 ， ，若
．则当 Sn取最大值时，n的值为 　
　 ．
11．设 φ∈[0，2π），若关于 x的方程 cos（2x+φ）＝a在区间[0，2π]上有 5个解，且它们
的和为 ，则 φ＝　
　 ．
12．若△ABC 的内角 A、B、C，其中 G为△ABC 的重心，且 ，则 cosC的最小值
为　
　 ．
二、选择题
13．在△ABC 中，若 • +＝0，则△ABC 的形状一定是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
14．设 n为正整数，则“数列{an}为等比数列”是“数列{an}满足 an•an+3＝an+1•an+2”的（
）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
15．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几
何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以 A，B，C，D，E
为顶点的多边形为正五边形，且 ．若 ，则 λ＝（
）
A．B．C．D．
16．记边长为 1的正六边形的六个顶点分别为 A1、A2、A3、A4、A5、A6，O是该正六边形中
心，设点集 S＝{A1，A2，A3，A4，A5，A6，O}，向量集 T＝{ |M，N∈S且M，N不重
合}．则这个集合 T中元素的个数为（　　）
A．18 B．24 C．36 D．42
三、解答题
17．已知平面向量 ， ．
（1）当 k为何值时， 与 垂直；
（2）若 与 的夹角为锐角，求实数 λ的取值范围．
18．已知复数 zn满足：（1+2i） ＝4+3i，zn+1﹣zn＝2+2i（n∈N*）．
（1）求复数 z1，并指出 z1的实部和虚部；
（2）求满足|zn|≤13 的最大正整数 n的值．
19．进博会期间，有一个边长 80m的正方形展厅 OABC，由于疫情，展厅被分割成如图所
示的相互封闭的几个部分，已划出以 O为圆心，60m为半径的扇形 ODE 作为展厅，现
要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地 PGBF，矩形有两条边分别落在边 AB
和BC 上，设 ．
（1）当 时，求出矩形 PGBF 的面积（精确到 1m2）；
（2）用 α表示矩形 PGBF 的面积，并求出矩形 PGBF 的面积 SPGBF 的最大值（精确到
1m2）．
20．如图，在四边形 ABCD 中，G为对角线 AC 与BD 中点连线 MN 的中点，P为平面上任
意给定的一点．
（1）求证： ；
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