上海市虹口区2021届高三下学期4月第二次模拟考试（二模）数学试题 含答案

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虹口区 2020 学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试
高三数学　试 卷　　 　
（时间 120 分钟，满分 150 分） 2021.4
一．填空题（1～6题每小题 4分，7～12 题每小题 5分，本大题满分 54 分）
1．已知集合 ， ，则 ．
2．_____________.
3．在 的二项展开式中，常数项是 ．
4．某班级要从 4名男生和 3名女生中选取 3名同学参加志愿者活动，则选出的 3人中既
有男生又要有女生的概率等于 ．
5．给出下列命题：
① 若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行；
② 若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行；
③ 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直．
其中所有正确命题的序号为　 ．
6．已知 为抛物线 上一点，点 到抛物线 的焦点的距离为 7，到 轴的距
离为 5，则 　 　 ．
7．若 ，则 的值等于　 　 （用 表示）．
8．设函数 的定义域为 .若对于 内的任意 ,，都有 ，则
称函数 为“Z函数”.有下列函数：① ；② ；③ ；④
.其中“Z函数”的序号是 　 （写出所有的正确序号）
9．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积等于 ( )．若该三棱柱的所有顶点都
在球 的表面上，则球 的体积等于________( ).
10．在平面直角坐标系 中，定义 ， 两点的折线距离 .设点 ，
， ， ，若 ，则 的取值范围 ．
11．已知 为圆 的一条直径，点 的坐标满足不等式组 ，则
的取值范围是 ．
12．在数列 中，对任意 ， ，当且仅当 ，若满足 ，则
的最小值为_______.
二．选择题（每小题 5分，满分 20 分）
13．双曲线 的两条渐近线的夹角的大小等于……
………………（ ）
14．已知函数 ，则“ ”是“ 为偶
函数”的（ ）条件
充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件
既非充分也非必要条件
15．复数 满足 ，且使得关于 的方程 有
实根，则这样的复数 的个数为…………（ ）
1 个 2 个 3 个 4 个
16 ．在平面上，已知定点 ，动点
． 当 在 区
间 上变化时，动线段 所形成图形的面积为…………………
…（ ）．
三．解答题（本大题满分 76 分）
17．（本题满分 14 分.第（1）小题 7分，第（2）小题 7分.）
在 三 棱 锥 中 ， ， ， 是 线 段 的 中 点 ，
是线段 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成的角
的大小．
18．（本题满分 14 分.第（1）小题 7分，第（2）小题 7分.）
设 且 ， ，已知函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解；
（2）若函数 在区间 上有零点，求 的取值范
围．
19．（本题满分 14 分.第（1）小题 6分，第（2）小题 8分.）
如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中 ， ，
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