上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 含答案

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复旦大学附属中学 2020 学年第二学期
高一年级数学期中考试试卷
考试时间 120 分钟满分 150 分所有答案均写在答题纸上
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每
题5分）
1．函数 的最小正周期为__________．
2． 为第三象限角，且 ，则 在第_______象限．
3．已知扇形的周长为 ，面积为 ，则扇形的圆心角 的弧度数为_________．
4．函数 的定义域为_________．
5．方程 在 内的解为 _________（用反三角函数表示）
6．已知奇函数 的一个周期为 2，当 时， ，则 ____
___．
7．已知角 满足 ，则 _______．
8．函数 的单调递增区间为_________．
9．函数 在 上的值域是_______．
10 ．已知 向右平移 个单位后为奇函数，则
_______．
11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数 在区间
上的取值范围与在区间 上的取值范围是相同的；②周期函数 在一个周期内
的取值范围也就是 在定义域上的值域，由此可求函数 的值
域为_________．
12 ．已知定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，
，若函数 ，在区间 上有 2021 个零点，则 m
的取值范围是___________．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 20 分，每题 5分）每题有且只有一个正确
选项．
13．已知函数 ，则“ ”是“ 为偶函数”的（ ）条件．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要
条件
14．在 中， ，则 的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
15．设定义在 上的函数 ．则 （ ）
A．在区间 上是增函数 B．在区间 上是减函数
C．在区间 上是增函数 D．在区间 上是减函数
16．设函数 ，若对于任意实数 ， 在区间
上至少有 2个零点，至多有 3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应
位置写出必要的步骤．
17．（本题满分 14 分，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分）
在平面直角坐标系 中，角 的始边为 x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点
P．
（1）若点 P的横坐标为 ，求 的值．
（2）若将射线 绕点 O逆时针旋转 ，得到角 ，若 ，求 的值．
18．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
已知函数 的部分图像如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）若 ，求 的取值范围．
19．（本题满分 14 分，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分）
如图某公园有一块直角三角形 的空地，其中 长 a千米，
现 要 在 空 地 上 围 出 一 块 正 三 角 形 区 域 建 文 化 景 观 区 ， 其 中 分 别 在
上．设 ．
（1）若 ，求 的边长；
（2）当 多大时， 的边长最小？并求出最小值．
20．（本题满分 16 分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分）
已知数 的相邻两对称轴间的距离
为 ．
（1）求 的解析式；
（2）将函数 的图像向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标不
变），得到函数 的图像，当 时，求函数 的值域．
（3）对于第（2）问中的函数 ，记方程 在 ，上的根从小到依
次为 ，试确定 n的值，并求 的值．
21．（本题满分 18 分，第 1小题满分 4分，第 2小题第（ⅰ）问满分 6分，第 2小题第
（ⅱ）问满分 8分）
在非直角三角形 中，角 的对边分别为 ．
（1）若 ，且 ，判断三角形 的形状；
（2）若 ，
（ⅰ）证明： ；
（可能运用的公式有 ）
（ⅱ）是否存在函数 ，使得对于一切满足条件的 m，代数式 恒
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