上海市奉贤区致远高级中学2021-2022学年高二上学期10月评估数学试题含答案

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致远高中 2021 学年第一学期 10 月评估高二年级数学学科试卷
2021.10
（完卷时间：120 分钟 满分：150 分）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1–6 题每题 4 分，第 7–12 题每题 5 分） 考生
应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 在长方体中，，，，则=
2. 已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，则圆柱的侧面积为
3. 如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的，若，则边的实际长度为
4. 正方体各面所在的平面将空间分成 部分
5. 若，线段所在直线和平面成 30°角，且，则点到平面的距离=
6. 如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个
顶点共截去八小块，得
到八个面为正三角形、六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异
面直线与所成角的大小是
7.已知空间两点 与 间的距离为 5，集合，则表示的图形的长度为
8.是从点引出的三条射线，每两条的夹角均为，则直线与所成角的余弦值为
9. 如图，已知，，，，
，则二面角的大小为
10.已知直线.如果直线 同 时 满 足
条件：①与异面；②与 成 定 角 ；
③与的距离为定值.那么 这 样 的 直
线有 条.
11.若两异面直线 、 所成的角为 ，过空间内一点 作与直线 、 所成角均是
的直线 ，则所作直线 的条数为_________.
12.在矩形中，)，，且.若边上存在两个不同的点，使得则的取值范围是
二、选择题（本大题共 4 题，满分 20 分，每小题 5 分）每题有且只
有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的
小方格涂黑．
13.设是两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）
A.若∥，则∥ B.若∥，，则;
C.若则∥; D.若，∥，则
14.的直角边在平面上，顶点在平面外，则直角边、斜边在平面
上的射影与直角边组成的图形是( )
A.线段或锐角三角形; B.线段或直角三角形;
C.线段或钝角三角形; D.线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角
形
15. 正方体的八个顶点中，平面经过其中的四个顶点，其
余四个顶点到平面的距离都相等，则这样的平面 的个数为
（ ）
A.6; B.8;
C.12 D.16
16.在正方形中，分别是及的中点，是的中点.现在沿及把
这个正方形折成一个空间四边形，使、、三点重合，重合
后的点记为，那么，在空间四边形中必有（ ）
A. B.
C. D.
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸
的相应写出必要的步骤．
17.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
在长方体中，，，分别是的中点．
（1）求证：共面；
（2）求：异面直线与所成角的余弦值．
18.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
（1）如图，空间四边形 中， 、 分别是 、 的中点，
、 分别是 、 上的点，且 .求证：直线
与 的交点在直线 上.
（2）如图，∥，点 P 是平面、外一点，从点引三条不共面的射线，与平面分别相交于点，
与平面分别相交于，
求证:
19.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）
如图，边长为 4 的正方形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一
点
(1)求证:
(2)求圆柱的表面积和体积.
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