上海市宝山区行知中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含解析

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2020-2021 学年上海市宝山区行知中学高一（下）期中数学试卷
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6题每题 4分，第 7～12 题每题 5分），
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．（4分）向量 ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则
　　．
2．（4分）若 ，则 　　．
3．（4分） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ， ，
则 的面积为　　．
4．（4分）已知 ， ， ， ，则 　　．
5．（4分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的正半轴重合，将角 的终边绕坐标
原点按逆时针方向旋转 后经过点 ，则 　　．
6．（4分）已知函数 是 上的奇函数，且 的图象关于 对称，当 ，
时， ，计算 （1） （2） （3） 　　．
7．（5分）若 是函数 的一条对称轴，则函数 的最大值是
．
8．（5分）已知函数 ，则不等式 的解集为　　．
9．（5分）如图，将矩形纸片 的右下角折起，使得该角的顶点 落在矩形的左边
上， ，若 ，则折痕 的长度为　　 ．
10．（5分）在锐角 中， ， ， 的取值范围为　 　 ．
11 ． （ 5分 ） 设 为 内 部 的 一 点 ， 且 ， 则 的 面 积 与
的面积之比为　　．
12．（5分）函数 仅有一个零点，则 的取值范围为　　．
二、选择题（本大题共有 4题，満分 20 分，每题 5分）每题铕且只有一个正选项．考生应
在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黒．
13．（5分）下列函数中最小正周期为 的函数是 　　
A．B．C．D．
14．（5分）已知非零向量 ， ， 共面，那么“存在实数 ，使得 成立”是“
”的 　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（5分）设函数 ，在区间 上至少有 2个不同的零点，
至多有 3个不同的零点，则 的取值范围是 　　
A．B．
C．D．
16．（5分）对于函数 ，若集合 ， 中恰有 个元素，则称函数
是“ 阶准偶函数”．若函数 是“2阶准偶函数”，则 的取值范围
是 　　
A．B． ， C． ， D． ，
三、解答题（本大题共有 5题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必
要的步骤．
17．（14 分）已知 ， 为锐角， ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的值．
18．（14 分）如图， 是半圆 的直径， ， 是弧 三等分点， ， 是线段
的三等分点，若 ．
（1）求 的值；
（2）求 与 的夹角 （用符号“ ”表示）．
19．（14 分）已知函数 ．
（1）求 的单调增区间；
（2）求 在区间 上的最小值；
（3）如果 在 上有两个解，求 的取值范围．
20．（16 分）在路边安装路灯，灯柱 与地面垂直（满足 ，灯杆 与灯柱
所在平面与道路垂直，且 ，路灯 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴
影部分所示，已知 ，路宽 ．设灯柱高 ，
．
（1）当 时，求四边形 的面积；
（2）求灯柱的高 （用 表示）；
（3）若灯杆 与灯柱 所用材料相同，记此用料长度和为 ，求 关于的函数表达式，
并求出 的最小值．
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