上海市宝山区吴淞中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学试题 含答案

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吴淞中学 2020-2021 学年高二下学期期末考试
数学试卷
一．填空题（共 12 小题）
1．函数 的定义域是　　．
2．在等差数列 中， 为其前 项的和，若 ， ，则 　　．
3．已知直线 的倾斜角为 ，则 的取值范围是　　．
4．若 ，则实数 的值是　　．
5．用 0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的自然数．如果十位上的数字比百位上的
数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如 301、423 等都是“凹数”，则
在组成的三位数中，“凹数”的个数为 　 　．
6．在三棱柱 中，点 是棱 上一点，记三棱柱 与四棱锥
的体积分别为 与 ，则 　　．
7． 的展开式的常数项是　　．
8．设函数 ，则函数 的单调递增区间为　　．
9．双曲线 的右焦点到直线 的距离为　　．
10．一个袋中装有同样大小、质量的 10 个球，其中 2个红色、3个蓝色、5个黑色，经过
充分混合后，若从此袋中任意取出 4个球，则三种颜色的球均取到的概率为　　．
11．已知函数 ，则满足 的 的取值范围是　　．（用区间表
示）
12．设 是由满足下列性质的函数 构成的集合：在函数 的定义域内存在 ，使
得 成立，已知下列函数：①；②；③；
④．其中属于集合 的函数是　　．（写出所有满足要求的函数的序号）
二．选择题（共 4小题）
13．若 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，则下列四个命题：
①若 ， ， ，则 ；
②若 ， ， ，则 ；
③若 ， ， ，则 ；
④若 ， ， ，则 ，
正确的个数为 　　
A．0 B．1 C．2 D．3
14．某校拟从 1200 名高一新生中采用系统抽样的方式抽取 48 人参加市“抗疫表彰大会”，
如果编号为 237 的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是 　　
A．327 B．937 C．387 D．1087
15．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ， 　　
A．B．C．D．
16．对于函数 ，若 ， ， ， （a）， （b）， （c）为某一三角形的三
边长，则称 为“可构造三角形函数”．已知函数 是“可构造三角形函
数”，则实数 的取值范围是 　　
A． ， B． ， C． ， D． ，
三．解答题（共 5小题）
17．已知正三棱柱 的所有边长均为 1．
（Ⅰ）计算正三棱柱 的表面积和体积；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小．
18．已知 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若关于 的方程 有解，求实数 的取值范围．
19．已知复数 、 满足 、 ，且 ，求 与 的值．
20．已知 ， 点 是圆 上一动点，动点 满足 ，点
在直线 上，且 ．
（1）求点 的轨迹 的标准方程；
（2）已知点 在直线 上，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，
记点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，求 的最大值，并求出此时 点的坐
标．
21 ．设数列 ， ， ， 的各项均为正整数，且 ．若对任意
，4， ， ，存在正整数 ， 使得 ，则称数列 具有性质 ．
（Ⅰ）判断数列 ，2，4，7与数列 ，2，3，6是否具有性质 ；（只需写出结
论）
（Ⅱ）若数列 具有性质 ，且 ， ， ，求 的最小值；
（Ⅲ）若集合 ，2，3， ， 2019 ， ， 且
（任意 ， ，2， ， ， ．求证：存在 ，使得从 中可以选取
若干元素（可重复选取）组成一个具有性质 的数列．
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