上海交通大学附属中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题 含答案

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交大附中高二开学摸底考数学试卷
2021.03
一、填空题
1．设 （ 为虚数单位），则 ．
2．已知球的体积为 ，则该球主视图的面积等于 ．
3．直线 （ 为参数）的斜率为 ．
4．已知直线 的一个方向向量 ，平面 的一个法向量 ，若 ，则
．
5．已知抛物线 上的点 ，则 到准线的距离为 ．
6．如图，以长方体 顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间
直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为 ．
7．已知关于 的实系数方程 有模为 的虚根，则 的取值范围是 ．
8．在四面体 中， ， ， ，则 、 所成的角的余弦
值为 ．
9．在空间中，已知一个正方体的 条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于 ，则
．
10．已知圆 ，圆 ，直线 、 分别过圆心 、 ，且 与圆
相交于 、 两点， 与圆 相交于 、 两点，点 是椭圆 上任意一点，则
的最小值为 ．
11．如图，在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点，点 在侧面 内，若
，则 的面积的最小值为 ．
12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为 的圆在一个半径为
的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为 ，
给出下列四个结论，正确的是 ．
（1）星形线的参数方程为： （ 为参数）；
（2）若 ，则星形线及其内部包含 个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）
（3）曲线 在星形线 的内部（包含边界）；
（4）设星形线围成的面积为 ，则 ．
二、选择题
13． 、 是复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C．D．
14．如图，在大小为 的二面角 中，四边形 与 都是边长为 的正方形，则 、
点间的距离是（ ）
A．B．C．D．
15．定义：复数 与 的乘积 为复数 的“旋转复数”，设复数 对应的点 在
曲线 上，则 的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
16．如图，已知正四面体 ，点 、 、 、 、 、 分别是所在棱中点，点 满足
且 ，记 ，则当 ， 且 时，数
量积 的不同取值的个数是（ ）
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