陕西省渭南市2021届高三下学期4月教学质量检测（Ⅱ）数学（理）试题答案

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理科数学试题答案　第１　　　　 页　 (共６页)
渭南市 ２０２１ 年高三教学质量检测 (Ⅱ)
理科数学试题参考答案
一、选择题(每小题 ５分ꎬ共６０ 分)
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２
答案 Ｃ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｄ Ｂ Ａ Ｃ Ａ
二、填空题(每小题 ５分ꎬ共２０ 分)
１３.π
３　 　 １４.２　 　 １５.①②(第１５ 题阅卷说明:全部选对的得 ５分ꎬ选对但不全的得 ３分ꎬ
有选错的得 ０分)　 　 １６.π
３.
三、解答题(共７０ 分)
１７.解:(Ⅰ)由ａ－ｂ＋ｃ
ｃ＝ｂ
ａ＋ｂ－ｃ化简得 ｂ２＋ｃ２－ａ２＝ｂｃ. (２ 分)……………………………
由余弦定理 ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２
２ｂｃ 得ｃｏｓＡ＝ｂｃ
２ｂｃ ＝１
２(４ 分)……………………………………
又因为 ０ < Ａ< πꎬ 所以 Ａ＝π
３.(６ 分)………………………………………………………
(Ⅱ)由正弦定理得 ａ
ｓｉｎＡ＝ ２Ｒ⇒ａ＝ ２ＲｓｉｎＡ＝ ２ｓｉｎ π
３＝ ３ (８ 分)……………………………
所以 ３ ＝ ｂ２＋ｃ２－ｂｃ≥２ｂｃ －ｂｃ ＝ｂｃꎬ(当且仅当 ｂ＝ｃ时取等号) (１０ 分)…………………
故Ｓ＝１
２ｂｃｓｉｎＡ≤１
２× ３ × ３
２＝３ ３
４(ｂ＝ｃ时取等号).
即△ＡＢＣ 面积 Ｓ的最大值为３ ３
４.(１２ 分)…………………………………………………
理科数学试题答案　第２　　　　 页　 (共６页)
１８.证明:(Ⅰ)连接 ＡＣ 交ＢＤ 于点 Ｎ. 连接 ＭＮ.
因为四边形 ＡＢＣＤ 是正方形ꎬ所以 Ｎ为ＡＣ 的中点
由于 Ｍ为ＡＥ 的中点ꎬ所以 ＭＮ∥ＣＥ
又因为 ＭＮ⊈平面 ＣＥＦꎬＣＥ⊆平面 ＣＥＦ
所以 ＭＮ∥平面 ＣＥＦ (２ 分)…………………………………………………………………
易知 ＢＮ∥ＥＦꎬＢＮ⊈平面 ＣＥＦꎬＥＦ⊆平面 ＣＥＦ
所以 ＢＮ∥平面 ＣＥＦ (４ 分)…………………………………………………………………
因为 ＭＮ∩ＢＮ ＝ＮꎬＢＮ⊆平面 ＢＭＮꎬＭＮ⊆平面 ＢＭＮ
所以平面 ＢＭＮ∥平面 ＣＥＦ.
又因为 ＢＭ⊆平面 ＢＭＮ
所以 ＢＭ∥平面 ＥＦＣ (６ 分)…………………………………………………………………
解:(Ⅱ)以Ｄ为原点建系如图.则ＤＭ
→＝ ( １
２ꎬ０ꎬ １
２)ꎬＤＢ
→＝ (１ꎬ１ꎬ０)
设平面 ＢＤＭ 的法向量为ｍ
→＝ (ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ则有
ｘ
２＋ｚ
２＝ ０
ｘ＋ｙ＝ ０
ì
î
í
ï
ï
ï
ï
.令ｘ＝ １ꎬ得ｍ
→＝ (１ꎬ － １ꎬ － １)
(９ 分)
…
……………………………………………………………………………………
由于 ＤＥ⊥平面 ＡＢＤꎬ所以取平面 ＡＢＤ 的法向量为 ｍ
→＝ (０ꎬ０ꎬ１)
则ｃｏｓ < ｍ
→ꎬｎ
→> ＝ ｍ
→􀅰ｎ
→
｜ｍ
→｜ ｜ ｎ
→｜＝－ １
１ × ３ ＝ － ３
３(１１ 分)…………………………………………
所以 ｓｉｎ < ｍ
→ꎬｎ
→> ＝ １ － ｃｏｓ２<􀭽
ｍꎬ􀭸
ｎ> ＝ ６
３ꎬ
则二面角 Ｍ－ＢＤ －Ａ的正弦值为 ６
３.(１２ 分)………………………………………………
１９.解:(Ⅰ)当ａ＝ ２ 时ꎬｆ(ｘ) ＝ ｘ２－ ２ｌｎｘ(ｘ> ０) (２ 分)………………………………………
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