陕西省宝鸡市2021届高三下学期大联考理科数学试卷 含解析

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2021 年陕西省宝鸡市高考数学大联考试卷（理科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝N，则集合 A∩B＝（　　）
A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，2，3}
2．已知 i为虚数单位，纯虚数 z满足（z+a）i＝1+i，则实数 a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．0 D．2
3．我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十
八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡
人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有 6912 人，这
三面要征调 300 人，而北面共征调 108 人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人（
）
A．8000 B．8100 C．8200 D．8300
4．设双曲线 的实轴长与焦距分别为 2，4，则双曲线 C的渐
近线方程为（　　）
A．B．C．D．y＝±3x
5．函数 f（x）＝ 的零点之和为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
6．函数 的单调递增区间为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．设公差为质数的等差数列{an}的前 n项和为 Sn，已知 a5+a7+a9＝15，则 S15 不可能为（
）
A．120 B．135 C．180 D．240
8．已知两个单位向量 ， 的夹角为 60°，向量 ＝t+2 （t＜0），则（　　）
A． 的最大值为﹣ B． 的最小值为﹣2
C． 的最小值为﹣ D． 的最大值为﹣2
9．已知不等式组 表示的平面区域为等边三角形，则 z＝x+3y的最小值
为（　　）
A．2+3 B．1+3 C．2+ D．1+
10．点 M为圆 C：（x+2）2+（y+1）2＝1上任意一点，直线（1+3λ）x+（1+2λ）y＝2+5λ
过定点 P，则|MP|的最大值为（　　）
A．2 B．C．2 +1 D．+1
11．已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为 4，6，12，则该三
棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．36πB．52πC．56πD．224π
12．抛物线 y2＝8x的焦点为 F，设 A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线上的两点，x1+x2+4＝
|AB|，则∠AFB 的最大值为（　　）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．已知 ，则 tanα＝　
　 ．
14．若 的展开式中 的系数为 1，则|a|＝　
　 ．
15．在等差数列{an}中，a2＝4，且 1+a3，a6，4+a10 成等比数列，则公差 d＝　
　 ．
16．若曲线 y＝x3﹣ax2存在平行于直线 y＝﹣3x+1 的切线，则 a的取值范围为　
　 ．
三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共60 分．
17．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 4csinB＝3asinC，tan ．
（1）求 sinB；
（2）设 D为AB 边上一点，且 BD＝3AD，若△ABC 的面积为 24，求线段 CD 的长．
18．如图，在多面体 ABCDEF 中，平面 ABCD⊥平面 CDEF，四边形 CDEF 是边长为 2的
正方形，四边形 ABCD 是直角梯形，其中 BC∥AD，BC⊥CD，且 BC＝CD＝AD．
（1）证明：BE⊥DF；
（2）求平面 ABF 与平面 CDEF 所成的锐二面角的余弦值．
19．抖音是一款音乐创意短视频社交软件，是一个专注年轻人的 15 秒音乐短视频社区．用
户可以通过这款软件选择歌曲，拍摄 15 秒的音乐短视频，形成自己的作品．2018 年6
月首批 25 家央企集体入驻抖音．一调研员在某单位进行刷抖音时间的调查，若该单位
甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取 7
人．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的 7人中有 3人是抖音迷，4人为非抖音迷，现从这7人中随机抽取 3人做
进一步的详细登记．
（ⅰ）用 X表示抽取的 3人中是抖音迷的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ⅱ）设 A为事件“抽取的 3人中，既有是抖音迷的员工，也有非抖音迷的员工”，求
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