山西省太原市第五中学2022届高三上学期9月月考试题 数学（理） 参考答案

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太原五中 2021----2022 学年度第一学期月考
高三数学(理)
【答案】
1. B2. B3. B4. A5. C6. B7. A
8. B9. B10. A11. D12. A
13.
−2
14. 6
15.
(10,12)
16.
1
e
17. 解：
¿
Ⅰ
¿
当
n=1
时，
a1=S1=9
2− m
，
当
时，
a2=S2− S1=27
2− m− 9
2+m=9
，
当
n=3
时，
a3=S3− S2=81
2− m− 27
2+m=27
，
由
a1
，
a2
，
a3
成等比数列，可得
a2
2=a1a3
，
即
92=27(9
2− m)
，解得
m=3
2
，
an=3⋅3n −1=3n
；
¿
Ⅱ
¿bn=¿
，
T2n=(−1+2)+(−3+4)+...+(−2n+1+2n)=1+1+...+1=n
．
18. 解：
(1)
在
△ABC
中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，
且满足足
bcosA +acosB=❑
√
2bsinC
．
由余弦定理得：
b⋅b2+c2− a2
2bc +a⋅c2+a2− b2
2ac =❑
√
2bsinC
，即
c=❑
√
2bsinC
，
∴sinC=❑
√
2sinBsinC
，
∴sinB=❑
√
2
2
，B为锐角，
∴B=π
4
．
(2)
由正弦定理可得：
a
sinA =b
sinB
，即
2
sinA =❑
√
6
❑
√
2
2
，
∴sinA=❑
√
3
3
．
∵a<b
，
∴A<B
，
∴cosA=❑
√
6
3
，
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=❑
√
3
3×
❑
√
2
2+❑
√
6
3×
❑
√
2
2=❑
√
6+2❑
√
3
6
．
△ABC
的面积
S=1
2absinC=1
2×2×❑
√
6×
❑
√
6+2❑
√
3
6=1+❑
√
2
．
19. 解：
(1)
由
f(x)=1
3x3−a
2x2+bx +c
得
f(0)=c
，
f ′ (x)=x2− ax+b
，
又由
f ′ (0)=b
，曲线
y=f(x)
在点
P(0, f (0))
处的切线方程为
y=1
，得
f(0)=1
，
f ′ (0)=0
．
故
b=0
，
c=1
．
(2)a=4
时，
f(x)=1
3x3−2x2+1
，
f ′ (x)=x2−4x
，点
(0,2)
不在
f(x)
的图象上，
设切点为
(x0, y0)
，则切线斜率
k=x❑0
2−4x0
，
所以
{
y0−2
x0−0=x0
2−4x0,
y0=1
3x0
3−2x0
2+1
⇒2
3x❑0
3−2x❑0
2+1=0,
上式有几个解，过
(0,2)
就能作出
f(x)
的几条切线．
令
g(x)= 2
3x3−2x2+1
，则
g ′(x)=2x2−4x=2x(x −2)
，
g(x)
，
g ′(x)
随x变化的情况如下：
x
(− ∞ , 0)
0
(0,2)
2
(2,+∞)
g ′(x)
+¿
0
−
0
+¿
g(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
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