山西省太原市第五中学2021届高三下学期第二次模拟考试 数学（理）答案

3.0 envi 2024-09-30 4 4 268.33KB 12 页 3知币
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1. B 2. D 3. B 4. D
5. A 【解析】 ，故选 A.
6. A 7. D 8. C 9. B
10. A 【解析】因为正四棱锥
P − ABCD
，所以底面是正方形，结合高为 2，
AB=2❑
√
2
，
设底面对角线交点为 M，所以
AC=4
，
AM =2
，故
PM =AM=CM=2
，
所以
△PAC
是等腰直角三角形．
因为截面
A1B1C1D1
过PM 的中点 N，所以 N为截面正
方形
的中心，且
PM ⊥
截面
A1B1C1D1
．
∴PN =MN=A1N=1
， 设 球 心 为 O， 球 的 半 径 为
R，则
A1O=AO=R
．
在直角三角形
A1ON
中 ，
ON =❑
√
A1O2− A1N2=❑
√
R2−1
，
∴OM =1−ON =1−❑
√
R2−1
．
在直角三角形 APM 中，
O A2=A M 2+O M2
，即
R2=4+¿
，
解得
R2=5
，故
S=4π R2=20 π
．
故选：A．
11. D
12. D 【解析】有两种情况：
（1）若 A，B在y轴同侧，不妨设 A在第一象限.如图，设△OAB 内切圆的圆心为 ，
则 在 的平分线 上，过点 分别作 于 ， 于 ，由
得四边形 为正方形，由焦点到渐近线的距离为 得 ，又
，所以 ，又 ，所以 ，所以
，从而可得 .
（2）若 A，B在y轴异侧，不妨设 A在第一象限.如图，易知 ， ，
，所以 的内切圆半径为 ，所以
， 又 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，则 ，从而可得 .
综上，双曲线 C的离心率为 .故选 D.
13.
14. 5,
15.
15870
【解析】
∵
考试的成绩
ξ
服从正态分布
N(98,100).∵μ=98
，
σ=10
，
∴P(ξ ≥ 108)≈0.1587
，
即数学成绩优秀高于 108 分的学生占总人数的
15.87 %
．
∴100000 ×15.87 % ≈15870
16.
2−2 ln 2
【 解析 】 解：作 出
f(x)
的图 象如
图所示，因为
f(x1)=f(x2)
，所以
2x1=ln x2
，即
x1=1
2ln x2
，
所以
x2−4x1=x2−2 ln x2
，由图可知
1<x2≤ e2
，
令
g(t)=t − 2lnt (1<t ≤e2)
，则
g '(t)=1−2
t=t − 2
t
，
则函数
g(t)
在
¿
上单调递减，在
[2, e2]
上单调递增，
所以
g¿
，
故答案为：
2−2 ln 2
．
注意多变量化为单变量
17 ．已 知 等 差 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ， . 数 列 满 足
.
（1）求 和 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，求证 .
【解答】(1)设
 
n
a
公差为 ，
由题可知： …………………………（2
分）
当 时， ， ………………………………（3分）
 
n
a
n
n
S
1
1a
3
9S
 
n
b
1 2
1 2
2 1
n
n
n
a
a a
b b b
  
 
n
a
 
n
b
 
n
b
n
n
T
16
3
n
T
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