山西省太原市2021年高三一模数学（文）答案

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太原市 2021 年高三年级模拟考试（一）
数学试题（文）参考答案及评分标准
一．选择题：
1.A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.B 11.A 12.D
二．填空题：
13.
1y
14.
90
15.
3
212
,4
16.
2
1023
三.解答题：
17.解：选择条件①
2
3
1a
，
)N(324 *1
1
naS n
nn
.
（Ⅰ）证明：当
1n
时，
2
21 324 aS
，
，
2
3
2a
，
3
211 aab
， …………2 分
当
1n
时，
1
1324
n
nn aS
，①
2
21 324
n
nn aS
，②
②－①得
1
12 3
n
nn aa
，即
)1(3
1naab n
nnn
， …………5 分
}{ n
b
是以首项
3
1b
、公比
3q
的等比数列； …………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
)N(3 *
nb n
n
，
∴
n
nnT 3333231 32
, ③ …………8 分
③
3
得
1432 33332313
n
nnT
, ④
③－④得
132 333332
nn
nnT
， …………10 分
]13)12[(
4
3n
nnT
. …………12 分
17.选择条件②
2
3
21 aa
，
)N(32 *
2
naa n
nn
.
（Ⅰ）证明：由
)N(32 *
2
naa n
nn
得
n
nnnn aaaa 32
112
， …………1 分
1
nnn aab
，
n
nn bb 32
1
，
)N*(33 1
1
nbb n
n
n
n
， …………3 分
0333 211 aabb n
n
，
)N*(3 nb n
n
， …………5 分
}{ n
b
是以首项
3
1b
、公比
3q
的等比数列； …………6 分
（Ⅱ）同上.
18 ． 解 ：（ Ⅰ ） 由 表 中 数 据可 得 老 年 人 、 中年 人 和 青 年 人 选 择报 团 游 的 频 率 分 别为
6
5
18
15
1p
，
4
3
40
30
2p
，
21
11
42
22
3p
，因为
321 ppp
，所以老年人更倾向于选
择报团游； …………4 分
（Ⅱ）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有 1 人，记为
a
；中年人有 2
人，记为
b
，
c
；青年人有 2 人，记为
d
，
e
．
从中随机选取两人，其基本事件为
( , )a b
，
( , )a c
，
( , )a d
，
( , )a e
，
( , )b c
，
( , )b d
，
( , )b e
，
( , )c d
，
( , )c e
，
( , )d e
，共 10 个；
其中所求事件“这两人中有老年人”为
( , )a b
，
( , )a c
，
( , )a d
，
( , )a e
，共 4 个；故这两人
中有老年人的概率为
5
2
10
4p
； …………9 分
（Ⅲ）由上表可知，报团游的满意率为
67
45
223015
151812
4
p
，
自助游的满意率为
3
1
20103
641
5
p
，因为
54 pp
，故建议他选择报团游．…………12 分
（答案不唯一，言之有理即可给分）
19.（Ⅰ）证明：连结
BG
，由题意得
BG
与
GD
共线，且
GDBG 2
，
E
是
BC
的中点，
FCBF 3
，
F
是
CE
的中点，
2EF
BE
GD
BG
，
DFGE//
，
//DF
平面
PGE
， ……2 分
H
是
PC
的中点,
PEFH//
，
//FH
平面
PGE
，……4 分
FFHDF
，
平面
//DFH
平面
PGE
； …………6 分
（Ⅱ）
2ACAB
，
22BC
，
222 8BCACAB
，
ACAB
，
ACPB
，
BPBAB
，
AC
平面
PAB
， …………8 分
PAB
是正三角形，
3
4
32ABS PAB
，
PABCPABEPBDEPDGEDEGP VVVVV 12
1
6
1
3
1
18
3
3
1
12
1ACS PAB
. …………12 分
20(Ⅰ)解：
)sin()cos()( xxxxf
)(sincos xfxxx
，
Rx
，
)(xf
是
R
上的偶函数，也是
]2,2[
上偶函数， …………1 分
当
]2,0[
x
时，
xxxf cos)(
，
令
0)(
xf
，则
2
0
x
或
2
2
3x
；令
0)(
xf
，则
2
3
2
x
，
)(xf
在
]
2
,0[
和
]2,
2
3
[
上单调递增，在
)
2
3
,
2
(
上单调递减； …………3 分
)(xf
是偶函数，
)(xf
在
]
2
3
,2[
和
]0,
2
[
上单调递减，在
)
2
,
2
3
(
上单调递增；
综上所述，
)(xf
在
]
2
3
,2[
、
)
2
3
,
2
(
和
]0,
2
[
上单调递减，在
)
2
,
2
3
(
、
]
2
,0[
和
]2,
2
3
[
上单调递增； …………4 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
)(1)(
4
1
)()( 2xgxxfxg
，
)(xg
是
R
上的偶函数，…………5 分
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