山西省太原市2021年高三一模数学（理）答案

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太原市 2021 年高三年级模拟考试（一）
数学试题（理）参考答案及评分标准
一．选择题：
1.A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.B 11.A 12.D
二．填空题：
13.
2xy
14.
35
15.
1
3)12(
1
3
1
,3
n
n
nn
b
16.
2
1023
三.解答题：
17.解：选择条件①
3
2
cos C
.
（Ⅰ）证明：由
CbAc sin4sin3
和正弦定理得
ba 43
， …………2 分
由
3
2
cos C
和余弦定理得
2
22222
24
925
23
2
b
cb
ab
cba
， …………4 分
，
ABC
为等腰三角形； …………6 分
（Ⅱ）由（1）得
cbba ,43
，
3
2
cos C
，
3
5
sin C
，
52
9
52
sin
2
12cCabS ABC
，
4,3 abc
， …………9 分
DABD 2
，
1,2 DABD
，
BBDaBDaCD cos2
222
3
28
cos2
22 CBDaBDa
，
3
212
CD
. …………12 分
选择条件②
9
1
cos A
.
（Ⅰ）证明：由
CbAc sin4sin3
和正弦定理得
ba 43
， …………2 分
由
9
1
cos A
和余弦定理得
bc
bc
bc
acb
18
79
29
122222
， …………4 分
或
cb 7
9
（舍去），
ABC
为等腰三角形； …………6 分
（Ⅱ）由（1）得
cbba ,43
，
9
1
cos A
，
9
54
sin A
，
52
9
52
sin
2
12bAbcS ABC
，
4,3 abc
， …………9 分
DABD 2
，
1,2 DABD
，
AADbADbCD cos2
222
3
28
，
3
212
CD
. …………12 分
18．解：（Ⅰ）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为
6
5
18
15
1p
，
4
3
40
30
2p
，
21
11
42
22
3p
，因为
321 ppp
，所以老年人更倾向于选
择报团游； …………4 分
（Ⅱ）由题意得
X
所有可能的取值为
2,1,0
， …………5 分
35
22
)0( 3
15
3
13 C
C
XP
，
35
12
)1( 3
15
1
2
2
13 C
CC
XP
，
35
1
)2( 3
15
2
2
1
13 C
CC
XP
，
X
的分布列为
X
0
1
2
P
35
22
35
12
35
1
5
2
35
1
2
35
12
1
35
22
0EX
； …………9 分
（Ⅲ）由上表可知，报团游的满意率为
67
45
223015
151812
4
p
，
自助游的满意率为
3
1
20103
641
5
p
，因为
54 pp
，故建议他选择报团游．…………12 分
（答案不唯一，言之有理即可给分）
19.（Ⅰ）证明：连结
BG
，由题意得
BG
与
GD
共线，且
GDBG 2
，
E
是
BC
的中点，
FCBF 3
，
F
是
CE
的中点，
2EF
BE
GD
BG
，
DFGE //
，
//DF
平面
PGE
， …………2 分
H
是
PC
的中点，
PEFH //
，
//FH
平面
PGE
， …………4 分
FFHDF
，
平面
//DFH
平面
PGE
； …………6 分
（Ⅱ）
2ACAB
，
22BC
，
222 8BCACAB
，
ACAB
，
ACPB
，
BPBAB
，
AC
平面
PAB
， …………8 分
以
A
为坐标原点，向量
ACAB,
的方向为
x
轴，
y
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐
标系
xyzA
，由题意得
)0,0,0(A
，
)0,0,2(B
，
)0,2,0(C
，
)3,0,1(P
，
设
),,( 111 zyxm
是平面
PAC
的一个法向量，
则
,0
,0
APm
ACm
,03
,02
11
1
zx
y
令
1
1z
，则
,3
,0
1
1
x
y
)1,0,3( m
， ……9 分
设
),,( 222 zyxn
是平面
PBC
的一个法向量，
则
,0
,0
BCm
PCm
,022
,032
22
222
yx
zyx
令
1
2z
，则
,3
,3
2
2
y
x
)1,3,3(n
， ……10 分
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