山西省太原市2021届高三下学期4月模拟考试二（二模）数学（文）试题 答案

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太原市 2021 年高三年级模拟考试（二）
数学试题（文）参考答案及评分标准
一．选择题：A D C C B B A D C B C C
二．填空题：13.
1
14.
9
7
15.
2
16.
)3,
4
9
[
三．解答题：
17.（Ⅰ）证明：在
ABD
中,
2
21
sin
2
1
BADADABS ABD
，
21AD
， ……3 分
由余弦定理得
3cos2
222 BADADABADABBD
，
； ……6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
3BD
，设
)600(
BDC
，
由
120BCD
和正弦定理得
2
120sin)60sin(sin
BDCDBC
， ………8 分
)]60sin([sin2
CDBC
)60sin(2
， ………10 分
600
，
1)60sin(
2
3
，
23 CDBC
，
CDBC
的取值范围为
]2,3(
. ………12 分
18 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为
)6,4[
，
)8,6[
，
)10,8[
，
)12,10[
，
)14,12[
，
)16,14[
，
]18,16[
的频率分别为
08.0,12.0,18.0,24.0,2.0,1.0,08.0
，
1104.1108.01712.01518.01324.01120.0910.0708.05 x
，
所以当天这 50 个社区垃圾量的平均值为
11
吨； ………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得该样本中“超标”社区的频率为
2.008.012.0
，
所以这 200 个社区中“超标”社区的概率为
2.0
，
所以这 200 个社区中“超标”社区的个数为
402.0200
； ………7 分
（Ⅲ）由题意得样本中“超标”社区共有
10)08.012.0(50
个，其中垃圾量为
)16,14[
的社区有
612.050
个，垃圾量为
)18,16[
的社区有
408.050
个，按垃圾量用分层抽样
抽取的 5 个社区中，垃圾量为
)16,14[
的社区有
3
个，分别记为
cba ,,
；垃圾量为
)18,16[
的
社区有
2
个，分别记为
ed,
， ………9 分
从中选取 2 个的基本事件为
( , )a b
，
( , )a c
，
( , )a d
，
( , )a e
，
( , )b c
，
( , )b d
，
( , )b e
，
( , )c d
，
( , )c e
，
( , )d e
，共 10 个；其中所求事件“至少有 1 个垃圾量为
]18,16[
的社区”为
( , )a d
，
( , )a e
，
( , )b d
，
( , )b e
，
( , )c d
，
( , )c e
，
( , )d e
，共 7 个；
所以至少有 1 个垃圾量为
)18,16[
的社区的概率为
7.0p
. ………12 分
19.（Ⅰ）证明：设点
HG,
分别是
CBCD,
的中点，连结
GHFHEG ,,
，
则
DBGH //
，且
GHDB 2
，
DBEF //
，且
EFDB 2
，
GHEF //
，且
GHEF
，
EFHG
平行四边形，
EGFH //
， ………1 分
DECE
，
CDEG
，
平面
CDE
平面
ABCD
，
EG
平面
ABCD
， ………3 分
FH
平面
ABCD
，
FH
平面
BCF
，
平面
BCF
平面
ABCD
； ………6 分
（Ⅱ）连结
BG
，由（Ⅰ）得
EG
平面
ABCD
，
直线
BE
与平面
ABCD
的所成角为
45
，
45EBG
，
EGBG
，………8 分
设
OBDAC
，连结
OE
，易得
OEFB
是平行四边形，
BFOE //
，
四边形
ABCD
是边长为
2
的菱形，且
60BAD
，
BCD
是边长为
2
的等边三角形，
3BG
，
EGSVVVV ABCABCEACEBACEFCEFA 3
1
1
3
1EGS BCD
. ………12 分
20.(Ⅰ)证明：当
1a
时，令
xxxxgxfxh cossin1)()()(
，
Rx
，
则
xxxh sincos1)(
，
（1）当
4
0
x
时，则
0sincos1)(
xxxh
，
)(xh
在
)
4
,0[
上单调递增，
0)0()( hxh
，
)()( xgxf
， ………3 分
（2）当
4
x
时，
)
4
sin(21)(
xxxh
021
4
，
)()( xgxf
；
综上所述，当
1a
时，不等式
)()( xgxf
在
),0[ 
上恒成立； ………5 分
(Ⅱ)令
xxaxxgxfxt cossin1)()()(
，
4
x
，
则
xxaxt sincos)(
，
（1）当
0x
时，由题意得
0)( xt
在
),0[ 
上恒成立，
0)0( t
，
01)0(
at
，
1a
；
当
1a
时，由（Ⅰ）得
xxaxxt cossin1)(
0cossin1 xxx
,
当
0)( xt
在
),0[ 
上恒成立时
1a
； ………8 分
（2）当
0
4x
时，由题意得
0)( xt
在
)0,
4
[
上恒成立，
0)0( t
，
01)0(
at
，
1a
，
当
1a
时，
xxaxxt cossin1)(
xxx cossin1
,
由（Ⅰ）得
xxxh sincos1)(
0)
4
sin(21
x
，
E
C
D
A
B
F
G
H
O
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