山西省太原市2021届高三下学期4月模拟考试二（二模）数学（理）试题答案

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太原市 2021 年高三年级模拟考试（二）
数学试题（理）参考答案及评分标准
一．选择题：A D C C B B A D C B C C
二．填空题：13.
60
14.
9
7
15.
2ln2
16.
)3,
4
9
[
三．解答题：
17.（Ⅰ）证明：
)1(2
1
))(1()( 112
1
nnaan
a
aan
a
nn
n
nn
n
，
2
1
)1(
112
1
nn
n
nn
n
aa
na
aa
an
，
2
1
1nn bb
，
2
1
1nn bb
是一个与
无关的常数， ………4 分
}{ n
b
是以首项
2
1
1b
、公差
2
1
d
的等差数列； ………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
*)(
2Nn
n
bn
，
2
1
n
aa
na
nn
n
，
nn aa 3
1
，
1
1a
，
)(3 *1 Nna n
n
，
)(
32
*
1Nn
n
a
b
cn
n
n
n
， ………8 分
)
33
3
3
2
1(
2
1
12
n
n
n
S
, ①
①
3
1
得
)
33
1
3
3
3
2
3
1
(
2
1
3
1
132 nn
n
nn
S
, ②
①－②得
)
33
1
3
1
3
1
3
1
1(
2
1
3
2
132 nn
n
n
S
，
)
3
32
9(
8
1
1
n
n
n
S
. ………12 分
18 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为
)6,4[
，
)8,6[
，
)10,8[
，
)12,10[
，
)14,12[
，
)16,14[
，
]18,16[
的频率分别为
08.0,12.0,18.0,24.0,2.0,1.0,08.0
，
1104.1108.01712.01518.01324.01120.0910.0708.05 x
，
所以当天这 50 个社区垃圾量的平均值为
11
吨； ………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
11
,
9
2
，
3
，
15865.0
2
6827.01
)()14(
XPXP
，
所以这 200 个社区中“超标”社区的个数为
3215865.0200
； ………7 分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得样本中当天垃圾量为
)16,14[
的社区有
612.050
个，垃圾量为
)18,16[
的社区有
408.050
个，所以
Y
的可能取值为
3,2,1,0
， ………8 分
6
1
)0( 3
10
3
6C
C
YP
，
2
1
)1( 3
10
1
4
2
6C
CC
YP
，
10
3
)2( 3
10
2
4
1
6C
CC
YP
，
30
1
)3( 3
10
3
4C
C
YP
，
Y
的分布列为
Y
0
1
2
3
P
6
1
2
1
10
3
30
1
5
6
30
1
3
10
3
2
2
1
1
6
1
0EY
. ………12 分
19.（Ⅰ）证明：设点
HG,
分别是
CBCD,
的中点，连结
GHFHEG ,,
，
则
DBGH //
，且
GHDB 2
，
DBEF //
，且
EFDB 2
，
GHEF //
，且
GHEF
，
EFHG
平行四边形，
EGFH //
， ………1 分
DECE
，
CDEG
，
平面
CDE
平面
ABCD
，
EG
平面
ABCD
， ………3 分
FH
平面
ABCD
，
FH
平面
BCF
，
平面
BCF
平面
ABCD
； ………6 分
（Ⅱ）连结
BG
，由（Ⅰ）得
EG
平面
ABCD
，
四边形
ABCD
是边长为
2
的菱形，且
60BAD
，
BCD
是边长为
2
的等边三角形，
CDBG
，
3BG
， ………8 分
以
G
为坐标原点，向量
GBGD,
的方向分别为
轴，
y
轴的正方向，建立如图所示的空间
直角坐标系
xyzG
，由题意得
)0,0,0(G
，
)0,3,2(A
，
)03,0( ，B
，
)0,0,1(C
，
设
)0)(,0,0( ttE
，则
),
2
3
,
2
1
(tF
，
设
),,( 111 zyxm
是平面
AEF
的一个法向量，
则
,0
,0
AEm
EFm
,032
,0
2
3
2
1
111
11
tzyx
yx
令
1
1y
，则
,
33
,3
1
1
t
z
x
)
33
,1,3( t
m
，
设
),,( 222 zyxn
是平面
BCF
的一个法向量，
则
,0
,0
BFm
BCm
,0
2
3
2
1
,03
222
22
tzyx
yx
令
1
2y
， 则
,0
,3
2
2
z
x
)0,1,3( n
，
5
5
27
4
1
|
||||
||,cos|
2
t
nm
nm
nm
，
33t
， ………11 分
33GE
，
直线
BE
与平面
ABCD
所成角的正弦值
10
103
. ………12 分
x
z
y
E
C
D
A
B
F
G
H
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