山西省太原市2021届高三高考数学模拟考试（理科）（二） 含解析

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2021 年山西省太原市高三高考数学模拟考试（理科）（二）
一、选择题（每小题 5分）.
1．已知复数 z满足 z（1+i）＝2i，则 z的共轭复数 等于（　　）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i
2．已知集合 A＝{（x，y）|y＝x2}，B＝{（x，y）|y＝x}，则 A∩B＝（　　）
A．{0，1} B．{（0，0），（1，1）}
C．{1} D．{（1，1）}
3．已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契
数列（即 a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*））的各项为边长的正方形拼成长方形，然后在
每个正方形中画一个圆心角为 90°的圆弧，将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺
旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线
的一部分，则第七项所对应的扇形的弧长为（　　）
A．B．C．D．4π
4．在等差数列{an}中，a1+a22＝﹣2，a2+a4＝2，则 a5＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
5．从 1，2，3，4，5这5个数中随机抽取 2个数，分别记为 m，n，则 为整数的概率为（
）
A．B．C．D．
6．已知点 P（m，m）（m≠0）是抛物线 y2＝2px（p＞0）上一点，且点 P到该抛物线焦点的
距离为 30，则 p＝（　　）
A．10 B．12 C．20 D．30
7．已知函数 y＝f（x）部分图象的大致形状如图所示，则 y＝f（x）的解析式最可能是（
　）
A．f（x）＝ B．f（x）＝
C．f（x）＝ D．f（x）＝
8．已知圆 M：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝3（a，b∈R）与圆 O：x2+y2＝1相交于 A，B两点，且|
AB|＝ ，给出以下结论：①• 是定值；②四边形 OAMB 的面积是定值；③a+b的
最小值为﹣ ；④a•b的最大值为 2，则其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．在钝角△ABC 中，a，b，c分别是△ABC 的内角 A，B，C所对的边，点 G是△ABC 的重
心，若 AG⊥BG，则 cosC的取值范围是（　　）
A．（0， ） B．[， ） C．（ ，1）D．[，1）
10．已知三棱锥 A﹣BCD 中，AB＝BD＝DA＝2，DC＝2，BC＝2，二面角 A﹣BD﹣
C的大小为 135°，则三棱锥 A﹣BCD 外接球的表面积为（　　）
A．64πB．52πC．40πD．32π
11．已知直线 x﹣2y+n＝0（n≠0）与双曲线 ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别
相交于 A，B两点，点 P的坐标为（n，0），若|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是（
　）
A．B．C．D．
12．已知函数 f（x）＝a2x2+x﹣2lna（a＞1），g（x）＝﹣ex﹣2lnx，若 f（x）的图象与
g（x）的图象在[1，+∞）上恰有两对关于 x轴对称的点，则实数 a的取值范围是（　　）
A．（ ，+∞） B．[，+∞） C．（ ， ] D．（1， ）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．已知 ， 是单位向量，且| + |＝ ，则向量 与 的夹角为　
　 ．
14．已知 sin（ ）＝ ，则 sin2α＝　
　 ．
15．已知点 A（0，1）和 B（m，﹣2），点 M（x，y）是函数 y＝2x图象上的一个动点，若对
于任意的点 M（x，y），不等式 ≤ （其中 O是坐标原点）恒成立，则实数
m＝　
　 ．
16．已知矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，点 E是边 CD 上的动点，将△ADE 沿AE 折起至
△PAE，使得平面 PAB⊥平面 ABC，过 P作PG⊥AB，垂足为 G，则 AG 的取值范围为
．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共
60 分．
17 ． 已 知 数 列 {an}中 ， a1＝1，a2＝3， 且 满 足 ＝
（n∈N*）．
（Ⅰ）设 bn＝ （n∈N*），证明：{bn}是等差数列；
（Ⅱ）若 cn＝ （n∈N*），求数列{cn}的前 n项和 Sn．
18．2017 年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46 个城市在
2020 年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上．某市在实施垃圾分
类之前，对该市大型社区（即人口数量在 1万左右）一天产生的垃圾量（单位：吨）进行
了调查．已知该市这样的大型社区有200 个，如图是某天从中随机抽取 50 个社区所产生
的垃圾量绘制的频率分布直方图．现将垃圾量超过14 吨/天的社区称为“超标”社区．
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