山西省太原市2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题

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2020-2021 学年第二学期高二年级期中质量监测

数学(理)试题参考答案及评分标准

一、选择题

题号

答案

二、填空题

13、

i2

14、①③



② 或②③



①

15、

16、

 

，2

三、解答题

17. （1）因为

   

ixxzz 21

21 

，……………………………………………………………….1 分

所以





  02 01

， ………………………………………………………………….2 分

解得

12  x

，

所以

的取值范围为

 

1,2 

. …………………………………………………………………….4 分

（1）因为

  

 

ixxixxizz 221 2

21 

， ………………………………………………6 分

又因为虚部

2x

，所以

21zz

不是实数. ……………………………………………8 分

18. （1）定义域

 

，0

，

 

xxf ln



， ………………………………………………….2 分

 

01 



fk

，又

 

11 f

， ………………………………………………….4 分

所以曲线

 

xfy 

在点

1x

处的切线方程为

1y

. …………………………………5 分

（2）由（1）令

 

0

xf

，有

1x

，

列表如下











1,

 

e,1

 

xf 

负

正

 

单调递减

极小值

单调递增

由上表可知当

1x

时，函数

 

有极小值，也是最小值，为

 

11 f

，…….8 分

又

 

21 











ef

，

则函数

 

在











e

上的值域为

 

0,1

. ………………………………………………….10 分

19. （1）由已知，得

acb

，且

0,0,0  cba

，所以

acb

，…………………….2 分

因为

ca 



，所以

bacca 22 

. ………………………………………….5 分

（2）因为

x







， ………………………………………………….7 分

所以

   

  

cbba

baccba









 2222

   

2 2 2 2 2

ab ac bc ab ac bc

ab ac b bc ab ac bc

   



    

. ……………….10 分

20. （A）（1）由

2212 4aaaS 

及

1a

解得

2a

，……………………………………….1 分

同理可得

143  aa

， ………………………………………………….3 分

猜想得

 



nn

. ………………………………………………….5 分

（2）证明：当

1n

时，

 

111

1



a

成立，………………………………………………….6 分

假设当

 



 Nkkn

时，

 



kk

， ………………………………………………….7 分

则当

1 kn

时

 

kkkkk akakSSa 2

11 1 

   



 kk

kak k

，

解得

      

 

111

1







kkkk

，

则当

1 kn

时成立， ………………………………………………….9 分

综上所述

 



nn

对任意



Nn

成立. ………………………………………………….10 分

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