山西省怀仁市第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 答案

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高一数学答案第页
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怀仁一中学年第二学期高一年级期中考试
数学答案及解析
.
a
b
即
a
b
所以
a
b
所以
a
b
.
.
由题 意 可 得
CE
CA
AE
CA
AB
CA
CB
CA
CB
CA
.
.
由题意
得
z
所以
z
其在复平面内对应的点为
位于第一象限.
.
设正四棱锥的底面正方形的边长为
a
高
为
h
侧面三角形底边上的高
斜高
为
h'
则由已知得
h
ah'
.
如图
设
O
为正四棱锥
S
ABCD
底面的中心
E
为
BC
的中点
则 在 
SOE
中
h'
h
a
 
h'
ah'
a
h'
a
 
·
h'
a
解得
h'
a
负值舍去
.
.
对于
由
a
·
b
a
b
󰂐
a
b
󰂑
a
b
恒成立
对于
当
a
b
均为非零向量且方向相反
时不成立
对于
容易判断恒成立.
故选 .
.
由
a
B
b
A
可 得
a
B
B
b
A
A
结合正弦定理可得
A
B
B
A
即
A
A
B
B
.
所以
A
B
.
所以
A
B
或
A
B
即
A
B
或
A
B
所以
ABC
是等腰三角形或直角三角形.
.
中
α
β
可能相交
平行
所以不正确
中的
m
也可能在平面
α
或
β
内
所以 不正确
由两个平面平行的性质可知正确.
.
易知直观图的面积为
则三棱柱的底面面积
为
 
三棱柱的体积为  .
.
以
A
为坐标原点
AB
AD
的方向分别为
x
轴
y
轴的正方向建立平面直角坐标系
图 略
则
D
B
由
AB
AE
可求得
F
.
又点
P
是线段
AF
上任意一点
可 设
P
y
y
y
则
AP
·
DP
y
y
·
y
y
y
y
y
 
因为
y
所以当
y
时
AP
·
DP
取得最小值
为
.
.
由题意可知
折叠后的几何体是底面为等边
三角形的三棱柱
底面等边三角形外接圆的半径为
 
 
.
易知三棱柱的高为
BC
所以三棱柱外接球的球心与底面外接圆圆心的
距 离 为
则三棱柱的外接球的半径
R
 
 
所以三棱柱的外接球的表面
积
S
R
.
.
BAD
..
在
BAD
中由 正 弦 定 理 得
BD
BAD
AD
ABD
即
a
AD
.
所以
AD
a
.
又 因 为 在
ACD
中
AC
AD
  
ADC
.
所以
AC
AD
.
a
.
.
.
.
对于
在图中
水面
EFGH
所在四边形
的面积为棱柱底面的面积
在图中
水面
EFGH
所在四边 形 的 面 积 大 于 原 棱 柱 底 面 的 面 积
故
错误
对于
在 图 中
A
C
与 水 面所 在 平 面 平 行
在
图
图中
A
C
与水面所在平面均不平行
故
错误
对于
因为棱柱在绕
BC
旋转的过程中
没 有 水
的部分始终呈棱柱形
故错误
对于
因 为 在图 中
有水的部分形成一个直三
棱柱
设三棱柱的底 面 为三 角 形
高为
BC
根据 水

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的体积为定值可得底面三角形的面积为定值
故
BE
·
BF
为定值.
. 
解析由
B
 
A
及正弦定理得
b
 
a
因为
C
a
b
c
ab
a
c
 
a
所以
a
c
则
A
C
B
因为
c
A
所以
a
c
所以
S
ABC
ac
B
.
. 
解析方法一设
z
z
a
b
a
b
R
因为
z
z
 
所以
z
a
b
z

a
b
.
因为
z
z
所以
z
z
所以
a
b
a
b
得
a
b
.
所以
z
z
a
b
 .
方法二设复数
z
z
在复平面内
分别对应向量
OA
OB
则
z
z
对应向量
OA
OB
.
由题意知
OA
OB
OA
OB
如 图 所 示
以
OA
OB
为 邻 边 作 平 行 四 边 形
OACB
则
z
z
对应向量
BA
且
OA
AC
OC
可得
BA
OA
 .
故
z
z
BA
 .
.
解析如图
取
C
D
的中点
P
B
C
的中点
Q
连接
PQ
PD
BQ
BD
易知在正方体
ABCD
A
B
C
D
中
PQ
BD
P
Q
B
D
确定一个平面
PQ
MN
PQ
平 面
AMN
MN
平面
AMN
PQ
平面
AMN
PD
AN
PD
平面
AMN
AN
平面
AMN
PD
平面
AMN
又
PQ
PD
P
平面
PQBD
平面
AMN
即四边形
PQBD
为所得截面
易知 四 边 形
PQBD
是一个等
腰梯形
如图
PQ
 
BD
 
PD
 
h
 
S
梯 形
PQBD
  
 .
.
解析对于
a
·
b
c
a
·
b
a
·
c
因 为
a
·
b
a
·
c
所以
a
·
b
c
故
a
b
c
故
正确
对于
因为
a
b
a
与
b
的夹角为
故可得
a
·
b
故
a
在
b
上的投影向
量为
a
·
b
b
 
b
b
b
故正确
对于
由 点
O
满 足
AO
·
AB
AB
AO
·
AC
AC
可 得
AO
·
AB
AB
AC
AC
 
所以点
O
在
CAB
的
平 分 线 上
由
CO
·
CA
CA
CO
·
CB
CB
可 得
CO
·
CA
CA
CB
CB
 
所以点
O
在
ACB
的平分
线上
则点
O
是
ABC
的内心
故错误
对于
不妨设
A
B
C
D
则
AB
AD
AC
所以四边形
ABCD
是平行四边形
因为
AB
·
AD
所以
AB
AD
故四边
形
ABCD
是矩形
故正确.
.
解
由
c
a
可设
c
λa
λ
λ
又
c
 
λ
λ
λ
 
分…………………………………
a
c
反向共线
λ
λ
故
c
.
分………………
a
b
与
a
b
垂直
a
b
·
a
b
即
a
a
·
b
b
又
b
a
 
  
分…………
a
·
b
b
a

 
分…………
θ
a
·
b
a
b
又
θ
θ
.
分…………………

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