山西省怀仁市2021届高三下学期一模理科数学试题答案

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怀 仁 市 2 0 2 0 — 2 0 2 1 学 年 度 下 学 期 一 模
高三教学质量调研测试
理科数学答案
一．选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
B
B
C
A
D
A
C
C
B
D
二．填空题：13. 15 14. 2 15 .
3
132
16.
1,
2
3
三．解答题：
17.（12 分）
 
1
解：选择①：由
,cos
2
1
3
cos BB
得
BBB cos
2
1
sin
2
3
cos
2
1
即
所以
2
1
6
sin
B
因为，
,0
B
所以
,
6
5
66
B
故
66
B
所以
3
B
.....................................6
分
选择②：由正弦定理
 
BbACcAa sinsinsinsin
，可化为
acbca 222
由
余弦定理得
2
1
2
cos
222
ac
bca
B
因为
,0
B
所以
3
B
，....................6 分
选择 ③：由正弦定理得
AB
C
Ab
c
cossin
sin3
cos
3
，又
 
BA
C
BA
BA
B
B
A
A
BA coscos
sin
coscos
sin
cos
sin
cos
sin
tantan
，由
BA
Ab
ctantan
cos
3
得
AB
C
BA
C
cossin
sin3
coscos
sin
因为
0sin C
所以
3tan B
因为
,0
B
所以
3
B
。................................................................6
分
 
2
在
ABC
中，由
 
1
及
4
2
3
32
sinsinsin
,32 C
c
A
a
B
b
b
，
CcAa sin4,sin4
, ............................................................................................................8
分
所以
AAAACAca cos34sin8
3
2
sin8sin4sin8sin42
 
Asin74
....................................................................................................10
分
因为
3
2
0
A
且
为锐角，所以存在角
A
使得
,
2
A
所以
ca 2
的最大值为
74
............................................................................................................................................1
2分
18.（12 分）详解：（1）列联表如下：
喜欢
不喜欢
合计
男生
5
15
20
女生
10
10
20
合计
15
25
40
072.2667.2
20202515
)1015105(40 2
k
....................................................................4 分
所以，有 85％的把握认为该校学生是否喜欢健身操与性别有关。...............................5 分
（2）记事件
A
为“从样本中随机抽取男生，女生各 1人，其中恰有 1人喜欢健身操”
则
2
1
)( 1
20
1
20
1
10
1
15
1
10
1
5
CC
CCCC
AP
.....................................................................................7 分
（3）由题意知的可能取值为 0，1，2
8
3
2
1
4
3
)0( xP
2
1
2
1
4
1
2
1
4
3
)1( xP
8
1
2
1
4
1
)2( xP
所以
X
的发布列为
X
0
1
2
P
8
3
2
1
8
1
4
3
8
1
2
2
1
1
8
3
0)( XE
..................................................................................12 分
19. （本大题 12 分 详 解 （ 1）证明：因为
,2,,// ADABDCADCDAB
所 以
22,22 BCBD
又因为
,4CD
所以
222 BCBDCD
,所以
BDBC
,
取
,OBD的中点为
连接
,,OSOA
因为
6SDSBSA
所以
SOASOBBDSO ,
所以
,OASO
因为
,OOBOA
所以
ABCDSO 平面
所以
,SOBC
又因为
,OBDSO
所以
.SBDBC 平面
................................................................5 分
(2)如图，以 A为原点，分别以
ABAD,
和垂直平面
ABCD
的方向为
zyx ,,
轴的正方向，
建立空间直角坐标系
xyzA
，
则
   
2,1,1,0,0,2,0,4,2,0,2,0,0,0,0 SDCBA
设
 
10
CSCM
,则
 
2,34,2 M
,
由（1）得平面
SBD
的一个法向量为
 
0,2,2BC
设
 
zyxn ,,
为平面
ABM
的一个法向量，
 
2,34,2020 AMAB ，，，
由
0
0
AMn
ABn
,得
 
02342
02
zyx
y
不妨设
 
2,0,2
n
......................................................................................................8 分
设平面
SBD
与平面
ABM
所成的二面角为
所以
 
29
58
445
2
2422
4
cos 22
2
整理得
（舍去）或，解得 2
1
3
1
016 2
.................................................10 分
所以
3
110
9
4
9
9
25
,
3
2
,3,
3
5
AMAM
.................................................12 分
20.(本大题 12 分)详解（1）根据题意知
1
2
1
ca
a
c
，解的
1,2 ca
由此可得，
3
2b
故
椭圆的标准方程为
1
34
22
yx
............................................................................................4 分
（2）由（1）知，
)01(
2，F
，直线
BA
的斜率不可能为 0，因此设直线
BA
的方程为
)0( mtmyx
，与椭圆
C
联立，得关于
y
的一元二次方程
 
0123643 222 tmtyym
设
 
,,),,( 2211 yxByxA
则
),( 11 yxA
根据韦达定理有
43
6
2
21
m
mt
yy
，
43
123
2
2
21
m
t
yy
①...........................................7 分
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