山西省大同市浑源县第七中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学（文科）试题含答案
浑源七中 2020—2021 学年下学期高一第一次月考
数学试题（Ｂ卷）
试题满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。）
1.已知 i为虚数单位，复数 z1＝2＋i，z2＝1－2i，则 z1＋z2等于( )
A. 1＋i B. 2－i C. 3－i D. －i
2.已知 A(3,1)，B(2，－1)，则
⃗
BA
的坐标是( )
A. (－2，－1) B. (2,1) C. (1,2) D. (－1，－2)
3.复数
1+2i
2−i
等于( )
A. i B. 1＋i C. －i D. 1－i
4.在△ABC 中，A＝60°， b＝3，c＝2，则△ABC 的面积为( )
A. 6 B. 3 C.
3
4
D.
3❑
√
3
2
5.在△ABC 中，a＝3，b＝5，sin A＝
1
3
，则 sin B等于( )
A.
1
5
B.
5
9
C.
❑
√
5
3
D. 1
6.已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则 a与b的夹角为( )
A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
7.在△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 C＝2B，则
c
b
等于( )
A. 2sin C
B. 2cos B
C. 2sin B
D. 2cos C
8.已知复数 z的实部为 a，且 0＜a＜2，虚部为 1，则|z|的取值范围是( )
A. (1,5)B. (1,3)C. (1，
❑
√
5
) D. (1，
❑
√
3
)
9.在△ABC 中，已知 a＝5
❑
√
2
，c＝10，A＝30°，则 B等于( )
A. 105° B. 60° C. 15° D. 105°或 15°
10.在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD 交于点 O，E是线段 OD 的中点，若
⃗
AC
＝a，
⃗
BD
＝b，则
⃗
AE
等于( )
A.
1
4
a＋
1
2
b B.
2
3
a＋
1
3
b
C.
1
2
a＋
1
4
b D.
1
3
a＋
2
3
b
11.平面向量 a与b的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( )
A.
❑
√
3
B. 2
❑
√
3
C. 4 D. 12
12.在△ABC 中，B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是( )
A. 不等边三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。）
13.已知 a∈R，若(3＋2i)－ai(3－2i)(i为虚数单位)为纯虚数，则 a的值等于____．
14.△ABC 的三个内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知 a＝2，b＝3，则
sin A
sin (A+C)
＝_____
___.
15.已知 a与b是相反向量，且|a|＝2，则 a·b＝________.
16.已知 a＝(1,2)，b(－3,2)．若 ka＋2b与2a－4b平行，则实数 k的值为________．
三、解答题（共 6小题）
17.在△ABC 中，已知 a＝2
❑
√
3
，b＝3，C＝30°，解此三角形．（10 分）
18.复数 z＝a＋bi(a、b∈R)满足|
z
|＋z＝8＋4i，求 z.（12 分）
19.在边长为 1的等边三角形 ABC 中，设
⃗
BC
＝2
⃗
BD
，
⃗
CA
＝3
⃗
CE
.（12 分）
(1)用向量
⃗
AB
，
⃗
AC
作为基底表示向量
⃗
BE
；
(2)求
⃗
AD
·
⃗
BE
.
20.如图所示，已知在四边形 ABCD 中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝
135°，求 BC 的长．（12 分）
21.已知在△ABC 中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求点 D的坐标与|
⃗
AD
|.（12 分）
22.如图所示，已知▱ABCD 中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝
π
3
，求对角线 AC 和BD 的长．（12
分）
浑源七中 2020—2021 学年下学期高一第一次月考数学答案（Ｂ卷）
1.【答案】C 【解析】z1＋z2＝(2＋i)＋(1－2i)＝3－i.
2.【答案】C
【解析】
⃗
BA
＝(3,1)－(2，－1)＝(3－2,1＋1)＝(1,2)．
3.【答案】A
【解析】
1+2i
2−i
＝
(1+2i)(2+i)
(2−i)(2+i)
＝
5i
5
＝i.
4.【答案】D
【解析】S△ABC＝
1
2
bcsin A＝
1
2
×3×2×
❑
√
3
2
＝
3❑
√
3
2
，
故选 D.
5.【答案】B
【解析】根据正弦定理
a
sin A
＝
b
sin B
，
则sin B＝
b
a
sin A＝
5
3
×
1
3
＝
5
9
，故选 B.
6.【答案】B
【解析】∵|a|＝
❑
√
10
，|b|＝
❑
√
5
，a·b＝5，
∴cos〈a，b〉＝
a ·b
¿a∨¿b∨¿¿
＝
5
❑
√
10 ×❑
√
5
＝
❑
√
2
2
，
∴a与b的夹角为
π
4
.
7.【答案】B
【解析】在△ABC 中，∵C＝2B，∴sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B，即 c＝2bcos B，则
c
b
＝2cos B.
8.【答案】C
【解析】∵复数 z的实部为 a，且 0＜a＜2，虚部为 1，
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