山西省2021届高三下学期3月高考考前适应性调研考试（一模）文科数学答案与解析

3.0 envi 2024-09-30 4 4 4.46MB 11 页 3知币

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A卷选择题答案

一、选择题

1. C 【解析】因为 x² + x- 12 < 0，即 (x+ 4) ( x- 3) < 0，解得 -4 < x< 3，所以 A= { x| - 4 < x< 3 }.所以 A∩B=

{x| - 4 < x< 0 }.

2. C 【解析】

∵z=2

-1 + i =2( -1 - i)

( -1 + i) ( -1 - i) =2( -1 - i)

2= -1 - i，

∴

z= 2，故选 C．

3. B 【解析】

∀α∈R, sin

( )

kπ

2-α= cos α= sin

( )

2-α,k∈Z，等价于

( )

kπ

2-α-

( )

2-α= 2nπ,n ∈Z，

∴k= 4n+ 1，

n∈Z.可知“∀α∈R, sin

( )

kπ

2-α= cos α, k∈Z”是“k= 1”的必要不充分条件．

4. B 【解析】由题意可知，5个三角形的面积从大到小分别是 4，4，2，1，1，将它们依次记为 A，B，C，D，E，它们的总面

积为 12，故选出的两个三角形的面积之和不小于 6即可保证其不小于另外三个三角形的面积之和，则任取两个

的取法共有 AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE 共10 种，其中 AB，AC，BC 这3种情况对应的面积之和不小于

6，根据古典概率模型的概率计算公式可知，所求概率为 3

10.

5. C 【解析】

∵a⋅ (a+b) = |a|2+|a||b|cos < a,b>= 1 + 2cos < a,b>= 0，

∴ cos < a,b>= - 1

2，

∴< a,b>= 120∘．故选 C．

6. B 【解析】指数函数 y=

( )

图象位于 x轴上方，据此可区分两函数图象 .二次函数 y=ax2-bx =

( )

ax -b x，有

零点 b

a, 0. A，B选项中，指数函数 y=

( )

在R上单调递增，故 b

a> 1，故 A错误、B正确 . C，D选项中，指数函数 y=

( )

在R上单调递减，故 0 < b

a< 1，故 C，D错误 .

7. B 【解析】观察：

7 mod 10 = 7，

72mod 10 = 9，

73mod 10 = 3，

74mod 10 = 1，

75mod 10 = 7，

76mod 10 = 9，

77mod 10 = 3，

78mod 10 = 1，……

不难归纳出对于 k∈N，有 74k+ 1 mod 10 = 7，

74k+ 2 mod 10 = 9，

74k+ 3 mod 10 = 3，

74kmod 10 = 1，

于是可推测 72022 mod 10 = 9.

秘密★启用前

2021年山西省高考考前适应性测试

文科数学参考答案详解及评分说明

文科数学试题答案第 1页（共 7页）

评分说明：

1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定

评分 .

2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不

给分 .

8. B 【解析】不妨设双曲线的焦点在 x轴上，

由于 b

a=c2-a2

a2=e2- 1 = 3，因此，渐近线的倾斜角为 60∘或120∘，

所以 α= 60∘，

tanα= 3，故选 B．

9. C 【解析】截面如图所示，是一个菱形 ABCD，棱长为 4 3

3，两条对角线长分别为 2 2，

2 30

3，所以面积为 4 15

3．

10. C 【解析】由题 f

( )

x在R上单调递减，故 f′(x) ≤ 0 在R上恒成立．

f′

( )

x=ex

( )

ex+ 1 -

( )

ex- 1 ex

( )

ex+ 1 2-a=2ex

( )

ex+ 1 2-a=2

ex+ e-x+ 2 -a，

因为 ex+ e-x≥ 2 ex⋅ e-x= 2，当且仅当 ex= e-x，即 x= 0 时取等号，

故f′

( )

xmax =2

2 + 2 -a=1

2-a≤ 0，

∴a≥1

2．

11. D【解析】设圆锥的底面半径为 r，球的半径为 R，则由已知得 πr2

4πR2=2

9，则 r=2 2

球心到底面的距离为 h=R2-r2=1

3R，所以圆锥的高为 4

3R或2

3R，得体积比为 8

27 或4

27.

12. B 【解析】解法一：

( )

x= 0，得

logax=1

ax，即 |

|log1

( )

.由题意知函数 y=|

|log1

x图象与函数 y=

( )

图象

有两个交点 .

当a> 1 时，

y=|

|log1

x,y=

( )

草图如下，显然有两交点 .

|log 1

( )

0 < a< 1

|log 1

( )

a> 1

（第 12 题答图）

当0 < a< 1 时，函数 y=|

|log1

x图象与函数 y=

( )

图象有两个交点时，注意到 y=

( )

,y= log1

x互为反函数，

图象关于直线 y=x对称，可知函数 y=

( )

图象与直线 y=x相切，设切点横坐标 x0，则

( )

=x0

( )

ln 1

a= 1

，

解得

{

x0= e,

a= e-1

综上，

a的取值范围为

{ }

e-1

e⋃

( )

1, + ∞ ，选 B.

解法二：当a> 1 时，符合题意（见解法一）；

当0 < a< 1 时，由函数图象可知 g(x) = |

|log1

x与h(x) =

( )

在x∈ (0,1) 内有唯一公共点，

（第 9题答图）

文科数学试题答案第 2页（共 7页）

文科数学试题答案第 3页（共 7页）

于是它们在(0, + ∞) 上有两个公共点的充要条件是在 x∈ (1, + ∞) 上有唯一公共点，

即x∈ (1, + ∞) 时，

g(x) = log1

x与h(x) =

( )

在唯一点(m,n)处有共同的切线，

由

g(m) = n,

h(m) = n,

g′(m) = h′(m),

，得

log1

m=n,……①

( )

=n,……②

m·1

ln 1

( )

ln 1

a,……③

①即

( )

=m，……④

由②④知，若 m>n，则 n=

( )

=m矛盾，

若m<n，则 n=

( )

=m矛盾，故只可能 m=n，

于是

( )

=n=m，……⑥，

⑥代入③，整理得 1

m·1

ln 1

=mln 1

a，即 mln 1

a= 1，

m=1

ln 1

，

代入⑥，得

( )

ln 1

a=1

ln 1

，取对数，得 1

ln 1

·ln 1

a= -ln

( )

ln 1

a= 1，解得 a= e-1

B卷选择题答案

1. A 2. B 3. B 4. D 5. C 6. A 7. C 8. A 9. C 10. C 11. D 12. D

A、B卷非选择题答案

二、填空题

13. -4

【解析】由三角函数的定义得 sinα= - 2 5

5，

cosα=5

5，所以 sin 2α= 2 sin αcos α= - 4

5．

14. 2

【解析】由题意，原点 O到l1,l2的距离为 d=a

2= 2 , ∴ a= 2．

15. 5

5，5

【解析】根据正弦定理得 CB

sin∠BAC =AC

sin∠ABC ,所以 sin ∠BAC =10

10 ，

cos ∠BAC =3 10

10 ，

则sin∠ACB = sin( π

4- ∠BAC ) = 5

5；

在△ACD 中，

cos ∠ACD = sin ∠ACB =5

5，

又由余弦定理得 AD2=AC2+CD2- 2AC ⋅CD ⋅ cos∠ACD

解得 CD = 5 或CD = 1，又因为 ∠D为锐角，所以 CD = 5．

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