山西大学附中2022届高三上学期11月期中考试+数学理科试题答案

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山大附中 2021~2022 学年第一学期期中考试
高三年级数学（理科）参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C C D A C D B D D A
二、填空题
13：【答案】
14．【答案】
15．【答案】①③④
16．【答案】
三．解答题
17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：
分）.已知甲组数据的中位数为 24，乙组数据的平均数为 25.
（1）求 x，y的值；
（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？
【详解】
（1）由 ，得 ，
由 ，得 ．…………5分
（2）设甲、乙两组数据的方差分别为 、 ，
甲组数据的平均数为 ，
因为 ，所以乙组的成绩更稳定．…………12 分
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ，
是边长为 的等边三角形， 是以 为斜边的等腰直角三角形.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理可得出 平面 ，可得出 ，再由已知条
件结合线面垂直的判定定理可得出 平面 ，利用面面垂直的判定定理可证得
结论成立；
（2）证明出 平面 ， ，然后以点 为坐标原点， 、 、
所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线 与
平面 所成角的正弦值.
【详解】
（1）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ， 平
面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 .
又因为 ， ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 ；…………6分
（2）取 的中点 ，连接 、 ，
因为 ，所以 .
又因为 平面 ，平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
由题意得 、 、 、 、 ，
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 .
所以， ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 .…………12 分
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