宁夏银川一中2020-2021学年高三下学期第二次模拟数学（理）试题答案
银川一中 2021 届高三第二次模拟数学(理科)参考答案
一、选择题
123456789101112
C D B D D C B B B C D C
二、填空题：
13. m=0.5 14． 15．
26
3
16.
√
2
6;8
√
6π
729
三、解答题：
17．解：（1）当 时， 与 两式相减得 .
∵数列是等比数列，∴公比 ， .
又 ，∴ ，∴
（2）∵由 得 ，
∴
=22(1−2n)
1−2−2n=2n+2−2n−4
18.（1）D是圆弧 BC 上的动点（不包括 B，C点），假设存在点 D，使得 BD⊥AC．
过点 D作DE⊥BC，∵平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC．
∴DE⊥平面 ACB，AC⊂平面 ABC，
∴DE⊥AC，又 DE∩BD ＝D，
∴AC⊥平面 BCD，而∠ACB＝60°，得出矛盾．
∴假设不正确．因此不存在点 D，使得 BD⊥AC．
（2）设圆心为点 O，连接 OA，分别以 OC，OA，为 y轴作空间直角坐标系．
设OC＝1，O（0，0，0），A（0，0，
❑
√
3
），B（0，﹣1，0），D（
❑
√
3
2
，
1
2
，0），
C（0，1，0）．
BA
→
=¿
（0，1，
❑
√
3
），
BD
→
=¿
（
❑
√
3
2
，
3
2
，0），
CA
→
=¿
（0，﹣1，
❑
√
3
），
设平面 ABD 的法向量为：
n
→
=¿
（x，y，z），则
n
→
•
BA
→
=n
→
•
BD
→
=¿
0，
∴y
+❑
√
3
z＝0，
❑
√
3
2
x
+3
2
y＝0，
取
n
→
=¿
（3，
−❑
√
3
，1），
∴直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值
＝|cos
＜n
→
，
CA
→
＞
|
¿¿ n
→
⋅CA
→
∨¿
¿n
→
∨⋅∨CA
→
∨¿=2❑
√
3
❑
√
13 ×2=❑
√
39
13 ¿
¿
．
本题考查了线面面面垂直的性质定理、法向量的应用、数量积运算性质、圆的性质，考
查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．解：（1）该混合样本达标的概率是
¿
，
所以根据对立事件原理，不达标的概率为
1−8
9=1
9
．
（ 2）①方案一：逐个检测，检测次数为 4．
方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为 1，概率为
8
9
；若不达标
则检测次数为 3，概率为
1
9
．故方案二的检测次数记为 ξ2，ξ2的可能取值为 2，4，6．
其分布列如下，
ξ2246
p
64
81
16
81
1
81
可求得方案二的期望为
E(ξ2)=2×64
81 +4×16
81 +6×1
81=198
81 =22
9
方案四：混在一起检测，记检测次数为 ξ4，ξ4可取 1，5．
其分布列如下，
ξ41 5
p
64
81
17
81
可求得方案四的期望为
E(ξ4)=1×64
81 +5×17
81 =149
81
．
比较可得 E（ξ4）＜E（ξ2）＜4，故选择方案四最“优”．
② 方案三：设化验次数为 η3，η3可取 2，5．
η32 5
p p31﹣p3
E(η3)=2p3+5(1− p3)=5−3p3
；
方案四：设化验次数为 η4，η4可取 1，5
η41 5
p p41﹣p4
E(η4)= p4+5(1− p4)=5−4p4
；
由题意得
E(η3)＜E(η4)⇔5−3p3＜5−4p4⇔p＜3
4
．
故当
0＜p＜3
4
时，方案三比方案四更“优”．
20.解：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在
x
轴上方的切点为
M
，
x
轴下方的切点为
N
，
则
kNE=1
，
NE
的直线方程为
y=x −❑
√
7
，
因为椭圆
C1:x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
的离心率为
1
2
，
所以椭圆
C1:x2
4c2+y2
3c2=1
，
所以
¿
，则
c=1
，
所以椭圆方程为
x2
4+y2
3=1
.
（Ⅱ）设点
B
(
x1, y1
)
，
C
(
x2, y2
)
，
P
(
x0, y0
)
，
由
x2=4y
，即
y=1
4x2
，得
y'=1
2x
，
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