高考数学典型题汇编PDF版含答案

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- 1 -
高考数学典型题
专题一 三角与平面向量
一、【命题规律】
（1）三角函数一般考查化简求值、图象与性质．常用公式有两角和差公式、倍角公式（注意半角公式
sin
tan 2 1 cos
 
）
、降幂公式、辅助角公式，有时与平面向量相结合，一般是向量数量积，化简成
bxAxf )sin()(
的形式后再研究图象性质,如单调性、周期性、对称性、图象变换、五点法作图等；
（2）解三角形中，边角互化综合利用正余弦定理和面积公式；余弦定理
．．．．
+
．
均值不等式（注意取等条件
．．．．．．．．．．．．
）
．
，正弦
．．．
定理边化角求周长、面积（注意角的范围尤其是锐角三角形）
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（3）平面向量主要考查数量积、平面向量基本定理，一般采用基底分解、坐标法、几何法来解决．
二、【知识框架】
角的概念
任意角的三角函数的定义
同角三角函数的关系
三角函数
弧度制
三角函数线
同角三角函数的关系
诱导公式
和角、差角公式
二倍角公式
公式的变形、逆用、“1”的替代换
化简、求值、证明（恒等变形）
三角函数
的 图 象
定义域
奇偶性
单调性
周期性
最值
对称轴（正切函数除外）经过
函数图象的最高（或低）点且垂
直x轴的直线，对称中心是正余
弦函数图象的零点，正切函数的
对称中心为(，)（k∈Z）.
正弦函数 y＝sin x
=
余弦函数 y＝cos x
正切函数 y＝tan x
 
siny A x b
 
 
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；②图象也可以
用五点作图法；③用整体代换求单调区间（注意 的符号）；
④最小正周期 T＝ ；⑤对称轴 x＝ ，对称中心为(，)（k∈Z）.
平面向量
概念
线性运算
基本定理
加、减、数乘
几何意义
坐标表示
数量积
几何意义
模
共线与垂直
共线（平行）
垂直
值域
图象
a
→∥b
→b
→＝a
→x1y2－x2y1=0
a
→⊥b
→b
→·a
→＝0x1x2＋y1y2=0
解三角形
余弦定理
面积
正弦定理
解的个数的讨论
实际应用
S△＝1
2ah＝1
2absinC＝p(p－a)(p－b)(p－c)（其中 p＝a＋b＋c
2）
投影
b
→在a
→方向上的投影为|b
→|cos
＝a
→·b
→
——
|a
→|
设a
→与b
→夹角 ，则 cos
＝a
→·b
→
——
|a
→|·|b
→|
对称性
|a
→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2
夹角公式
- 2 -
三、【典型例题】
1.【化简求值】若
(0, )
2
，且
23
cos cos( 2 )
2 10
 
 
，则
tan
（ ）
A．
1
2
B．
1
4
C．
1
3
D．
1
5
2．【函数性质】（多选题）已知函数
 
cos 0
4
f x x
 
 
 
 
 
，则下列说法正确的是（ ）
A. 若将
 
f x
图象向左平移
4
个单位长度，所得图象与原图象重合，则
的最小值为 4
B. 若
6 3
f f
 
   
   
   
，则
的最小值为 1
C. 若
 
f x
在
,
2
 
 
 
内单调递减，则
的取值范围为
1 5
,
2 4
 
 
 
D. 若
 
f x
在
,
2
 
 
 
内无零点，则
的取值范围为
3 7
,
2 4
 
 
 
3.【函数性质】（多选题）已知函数
( ) 3 | sin | 4 | cos |f x x x 
，则
(
)
A．
是函数
( )f x
的一个周期 B．直线
( )
2
k
x k Z
 
为函数
( )f x
的对称轴方程
C．函数
( )f x
的最大值是 5 D．
( ) 4f x
在
[0
，
]
有三个解
4．【向量运算】已知向量
, ,a b c
 
满足：
3, 1a b c 
 
且
1 ,a b a b c  
 
（ ）
则
a b
 
|的取值范围是 .
5.【三角向量结合】.在△ABC 中，
4 3 =90AB AC BAC  ， ，∠ ，
D在边 BC 上，延长 AD 到P，使得 AP=9，若
3
( )
2
PA mPB m PC  
 
（m为常数），则 CD 的长度是________．
6.【三角恒等变换与解三角形】如图，
, , ,A B C D
为平面四边形
ABCD
的四个内角.
（1）证明：
1 cos
tan ;
2 sin
A A
A
（2）若
180 , 6, 3, 4, 5,A C AB BC CD AD 
o
求
tan tan tan tan
2 2 2 2
A B C D
 
的值.
- 3 -
7.【结构不良型三角】已知
ABC
的内角
A
、
B
、
C
所对的边分别是 a、b、c，在以下三个条件中任选一个：
①
 
22
sin sin sin sin sinB C A B C  
；②
6 2
sin 4 4
A
；③
sin sin
2
B C
b a B
.并解答以下问题：
（1）若选_________（填序号），求
A
的值；
（2）在（1）的条件下，若
3a
，
 
0b m m 
，当
ABC
有且只有一解时，求实数
m
的范围及
ABC
面积
S
的最大值.
8.【解三角形】已知
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，且
2 cos 2c B a b 
．
（1）求角
C
；
（2）若角
C
的角平分线交
AB
于点
D
，
1
3
ACD
ABC
S
S
，
3AB
，求
AC
和
CD
的长度；
（3）若角
C
的角平分线交
AB
于点
D
，
1
3
ACD
ABC
S
S
，
2CD
，求
, ,AB AC BC的长度
.
9.【三角形中取值范围】已知
ABC△
内角
A B C， ，
的对边分别为
a b c， ，
，
2A C B 
，
ABC△
的面积
3
4
S a
．
（1）求边
c
的值；
（2）若
ABC△
为锐角三角形，求
a
的取值范围．
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