江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题
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横峰中学 2020-2021 学年度第二学期期中测试
高二数学（理科）试题卷
考试时间：120 分钟；命题人：胡雅丽 审题人：宋争丁
第I卷（选择题）
一、单选题（共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。）
1．已知复数
z
满足
2
1
zi
i=+
−
，则
z=
（ ）
A．
3i−−
B．
3i
−+
C．
3i
+
D．
3i
−
2．下列各式中正确的是（ ）
A．(logax)′
1
x
=
B．(logax)′=
ln10
x
C．(3x)′=3x D．(3x)′=3xln3
3．已知命题
21
: , 0
4
p x R x x − +
，则
p
为（ ）
A．
21
,0
4
x R x x − +
B．
21
,0
4
x R x x − +
C．
21
,0
4
x R x x − +
D．
21
,0
4
x R x x − +
4．函数
( )
3
f x ax bx=+
在
1
xa
=
处有极值，则
ab
的值为（ ）
A．2 B．
2−
C．3 D．
3−
5．已知 n为正偶数，用数学归纳法证明 1-
1 1 1
2 3 4
+−
+…+
1
-1
n
=2
1 1 1
…
2 4 2
n n n
+ + +
++
时，若已假设 n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用
归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立
C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
6．已知
,ab
为实数，i为虚数单位，则“复数
a bi+
为纯虚数”是“
0a=
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.已知
( )
2, 1,2a=−
，
( )
2,2,1
b=
，则以
,ab
为邻边的平行四边形的面积为（ ）
A．
65
B．
65
2
C．4 D．8
8．已知直线
l
过定点
( )
2,3,1A
，且方向向量为
0,1,1s
，则点
4,3,2P
到
l
的距
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离为（ ）
A．
32
2
B．
2
2
C．
10
2
D．
2
9．平面区域
C
是由
yx
=
，
4x=
以及
x
轴围成的封闭图形，图中阴影部分是由
yx=
和直线
2xy=
围成的，现向区域
C
内随机投掷一点
P
，则点
P
落在阴影区域
内的概率为（ ）
A．
1
4
B．
1
3
C．
2
3
D．
3
4
10．函数
()
2
ee
xx
fx x
−
−
=
的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
11．在三棱锥
P ABC−
中，
PA
，
AB
，
AC
两两垂直，
D
为棱
PC
上一动点，
2PA AC==
，
3AB =
.当
BD
与平面
PAC
所成角最大时，
AD
与平面
PBC
所成角
的正弦值为（ ）
A．
11
11
B．
2 11
11
C．
3 11
11
D．
4 11
11
12．已知函数
22 2, 0,
() ln( 1), 0,
x x x
fx xx
− − −
=+
若关于
x
的不等式
1
() 2
f x ax a + −
在
R
上恒成立，则实数
a
的取值范围是（ ）
A．
1
2
e , 2
−
B．
1
2
2,e
C．
1
2
e , 6
−
D．
1
2
e , 6
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第II 卷（非选择题）
二、填空题（共 4小题，每题 5分，共 20 分）
13．已知复数 z＝m＋(m2－1)i(m∈R)，满足 z<0，则 m＝________.
14．若“
0, ,tan
4
x x m
”是真命题，则实数
m
的最小值为_____________.
15．函数
() ln
x
fx x
=
的减区间为_________________
16 如图，已知正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
的棱长为 1，E，F，G分别是棱
1 1 1
,,AA BC C D
的中点，设 M是该正方体表面上的一点，若
( , )
EM xEF yEG x y= + R
，则点 M的轨迹所形成的长度是________．
三、解答题（17 题10 分，其余每题 12 分）
17.（1）求导函数
( )
2
ln 2x
x
fx x
+
=
（2）求定积分
32
3
9x dx
−
−
18．已知命题 p:存在 x∈R，使
210x ax− +
成立.
（1）若命题 p为真命题，求实数 a的取值范围;
（2）命题 q:对任意实数 x∈[0，2]，都有
220x x a− −
恒成立.如果命题 p，q都是假
命题，求实数 a的取值范围.
19．如图在边长是 2的正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D−
中，E，F分别为 AB，
1
AC
的中点．
（1）求异面直线 EF 与
1
CD
所成角的大小．
（2）证明：
EF ⊥
平面
1
ACD
．
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2025-05-31 104
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