江西省上饶市2021届高三下学期3月第二次高考模拟考试（二模）数学（理）答案

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上饶市 2021 届第二次高考模拟考试
数学（理科）答案
一、选择题
4. 提示：因为点 在平面 内绕点 作圆周运动，并且始终保持 ，所以
，
又因为 ， 为定值，所以 也是定值，所以点 在某个定球面上运动，故 A正确；
作出简图如下，所以 ，故 B正确；
易知 C正确；
当AB 在平面
α
内时，直线 与平面 所成角最小，等于
0°
，所以直线 与平面
所成角的余弦值的最大值为 1，故 D不正确.
10. 提示：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ADCDDCDDBBDA
⃗
PA⋅
⃗
PB=
(
⃗
PO+
⃗
OA
)
⋅
(
⃗
PO+
⃗
OB
)
=
(
⃗
PO+
⃗
OA
)
⋅
(
⃗
PO−
⃗
OA
)
=|
⃗
PO|2−|
⃗
OA|
2=|
⃗
PO|
2−1
P当 为 EF 中点时，|
⃗
PO|min=
√
3
2，所以
⃗
PA⋅
⃗
PB的最小值为−1
4.
11. 解：如图所示，根据题意可设 ，则 ，
易知四边形 AF1BF2为平行四边形
且∠F1AF2=∠BF2P=60°
Δ在APF1中，由
(
PF1
)
2=
(
AF1
)
2+
(
AP
)
2−2AF1⋅AP⋅cos 60°
∴
(
n+2a
)
2=n2+
(
2n−2a
)
2−2⋅n⋅
(
2n−2a
)
⋅cos 60°解得 n=5a
ΔF在1AF2中，由
(
F1F2
)
2=
(
AF1
)
2+
(
AF2
)
2−2AF1
⋅AF2
⋅cos 60°
得4c2=25 a2+9a2−2⋅5a⋅3a⋅cos 60°即4c2=19 a2
∴e=
√
19
2
t令=ex
x，设 f
(
t
)
=t−aln t+2e3,
(
t≥e
)
f则
(
t
)
min≥0即可
又f'
(
t
)
=1−a
t=t−a
t
(
t≥e
)
(
1
)
当0<a≤e {时， f
'
(
t
)
≥0恒成立， ∴y=f
(
t
)(
t≥e
)
是增函数 ¿f故
(
t
)
min =f
(
e
)
=e−a+2e3≥0,∴a≤e+2e3,又0<a≤e，所以 0<a≤e.¿
(
2
)
a当>e时， y=f
(
t
)
在[e, a )上递减，在 [a，+∞ )上递增 ¿f故
(
t
)
min=f
(
a
)
=a−aln a+2e3≥0,¿g设
(
a
)
=a−aln a+2e3
(
a>e
)
, g故
(
a
)
≥0 {即可，而 g¿'
(
a
)
=−ln a , {显然 g¿'
(
a
)
<0¿∴y=g
(
a
)
在[e,+∞)上递减，又 g
(
e3
)
=e3−e3ln e3+2e3=0¿g而
(
a
)
≥0，所以 g
(
a
)
≥g
(
e3
)
，所以 e<a≤e3.¿综上可知 0<a≤e e或<a≤e3，即0<a≤e3.¿ ¿
,
二．填空题
13.
2x−y+1=0
14. 2 15.
1
2
16.
6
√
15
5π
15.提示：
设直线 AB的倾斜角为 θ，则直线CD的倾斜角为 θ+π
2θ或−π
2
则|AB|=2p
sin2θ,|CD|=2p
sin2
(
θ±π
2
)
=2p
cos2θ
∴λ=1
|AB|+1
|CD|=sin2θ
2p+cos2θ
2p=1
2p=1
2
16.解：如图，在 取点 ,使 ,连接
因为 ,所以 ,则 平面 ,
则点 的轨迹为平面 与球 的截面圆周，
设正方体的棱长为 ，则
4
3π⋅
(
a
2
)
3
=36 π
，解得
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