江西省上高二中2020-2021学年高一下学期第四次月考试题（4月）数学（理） 含答案

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2023 届高一年级第四次月考数学（理科）试卷
一、单选题（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。）
1．已知向量 ， ，则
A．B．
C． 与 的夹角为 D． 与 的夹角为
2．直线 xsinα-y+2=0 的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知单位向量 满足 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）
A．B．
C．D．
4．在 中，内角 所对的边分别为 ，给出下列四个结论：①若
，则 ；② ；③若 ，则
；④等式 一定成立，以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．在 中，内角 ､ ､ 所对的边分别是 ､ ､ ，已知 ，
， 的面积为 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知 为等边三角形， ，设点 ， 满足 ， ，
与 交于点 ，则 （ ）
A．B．C．1 D．2
7．已知过定点 作直线 与两坐标轴围成的三角形面积为 ，这样的直线有（ ）条？
A．B．C．D．
8．设 O为△ABC 所在平面内一点，满足 273 ，则△ABC 的面积与
△BOC 的面积的比值为（ ）
A．6 B．C．D．4
9．在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，若此三角
形有两解，则 的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
10．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在 中，角
A，B，C所对的边分别为 a，b，c，则 的面积 .根据
此公式，若 ，且 ，则 的面积为（ ）
A．B．C．D．
11．在 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.若 的面积为 S，
，则 外接圆的面积为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在等腰梯形 中， ， ，高为 ， 为 的中点， 为
折线段 上的动点，设 的最小值为 ，若关于 的方程
有两不等实根，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．已知直线 l经过点 ，且和直线 的夹角等于 ，则直线 l的方程是_
________．
14．已知 ， 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，其中 ，
，则 的值为______.
15．已知 中， ， ， ， 为 所在平面内一点，且
，则 的值为___________
16．在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， ， 为边 上的一点，若
， ， ， ，则 __________.
三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分）
17．（10 分）已知直线 .
(1)求证：不论 a为何值，直线 l总经过第一象限；
(2)为使直线 l经过第一、三、四象限，求 a的取值范围．
18．（12 分）
设向量 ， ， ， .
（1）若 ，求 的值；
（2）设 ，求 的最大值和最小值以及对应的 x的值.
19．（12 分）
的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.
（1）求证： ；
（2）若 是锐角三角形， ，求 的范围.
20．某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口
沿 ， 方向修建两条小路，休息亭 与入口的距
离为 米（其中 为正常数），过 修建一条笔直的鹅
卵石健身步行带，步行带交两条小路于 、 处，已知
， ．
（1）设 米， 米，求 关于 的函数关系式
及定义域；
（2）试确定 ， 的位置，使三条路围成的三角形
地皮购价最低．
21．已知 中，角 所对的边分别是 ， ，且
.
（1）求角 ；
（2） ， 为 所在平面内一点，且满足 ，求 的最小值，并求
取得最小值时 的面积 .
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