江西省萍乡市湘东中学2022届高三上学期开学考试数学试题 含答案

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江西省萍乡市湘东中学 2022 届高三开学考试
数学（理科）试卷
（考试试卷：120 分钟，满分 150 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.设复数其中 i为虚数单位，则 z的共轭复数的虚部为　　
A. 2 B. 2i C. D.
3．双曲线 的离心率是 ，过右焦点 作渐近线
的垂线，垂足为 ，若 的面积是 1，则双曲线 的实轴长是（ ）
A． 1 B． 2 C． D．
4．偶函数 在 上为增函数，且 ，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从 4名男教师和 5名女教师中，
选取 3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有
（ ）
A. 140 种B. 70 种C. 35 种D. 84 种
6．已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则 ( )
A. 1 B. C. 2 D.
7．已知双曲线 C的焦点为 F1，F2， 点 P为双曲线上一点．若|PF2|＝2|
PF1|，∠PF1F2＝60°，则双曲线的离心率为
A． B．2 C．
D．
8．已知向量 a＝（1，x－1），b＝（y，2）若向量 a，b同向，则 x＋y的最小
值为
A． B．2 C ．
D．
9． 的展开式中 的系数是
A.90 B．C．15 D．
10．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，O为坐标
原点，P为双曲线在第一象限上的点，直线 PO， 分别交双曲线 C的左，右
支于另一点 ，且 ，则双曲线的离心率为
A．B．3 C．2 D．
11.已知 A（4,3），F为椭圆 的右焦点，过点 A的直线与椭圆在 x轴上方相
切于点 B，则直线 BF 的斜率为
A． B． C． D．
12.已知不等式 恒成立，则 的最大值为
A． B． C． D．
二．填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13. 已知向量，，若，则______．
14.已知实数 x，y满足不等式组，则的最小值为______．
15.某医院传染病科室有 5名医生、4名护士，现从这 9名医护人员中选取 5名
参加医院组织的运动会，要求其中至少有 2名医生、2名护士，则不同的选取方
法有__________种.
16.已知定义在 R上的函数 满足 ，且当 时， ，
当 时， ，则函数 在 上有_________个零点.
三．解答题：共 70 分。解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21
题为必考题，每个考题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答。
17．（本题 12 分）已知等比数列 中， ， ．
（ ）若 为等差数列，且满足 ， ，求数列 的通项公式．
（ ）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
18. 如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，各棱长均相等．D，E，F分别为棱
AB，BC，A1C1的中点．
(1)证明：EF∥平面 A1CD；
(2)若三棱柱 ABC A1B1C1为直棱柱，求直线 BC 与平面 A1CD
所成角的正弦值．
19.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数 ξ的分布列为
ξ1 2 3 4 5
P0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
商场经销一件该商品，采用 1期付款，其利润为 200 元；分 2期或 3期付款，
其利润为 250 元；分 4期或 5期付款，其利润为 300 元．η表示经销一件该商品
的利润．
(1)求事件 A：“购买该商品的 3位顾客中，至少有 1位采用 1期付款”的
概率 P(A)；
(2)求η的分布列及期望 E(η)．
20.
如图已知椭圆 C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，右顶
点为 A，且|AF|＝1.
(1)求椭圆 C的标准方程；
(2)若动直线 l：y＝kx＋m与椭圆 C有且只有一个交点 P，
且与直线 x＝4交于点 Q，问，是否存在一个定点 M(t,0)，使得MP·MQ＝0.若存
在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由．
21. 已知函数
f(x)=sin x
x
.
（1）若
x∈(0, π )
，讨论方程
f(x)=k
根的情况；
（2）若
x∈(0,2 π)，k∈[2
5,+∞)
，讨论方程
f'(x)=k
根的情况.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。
22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标
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